Giải bài 4.27 trang 94 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Một mặt phẳng song song với mặt bên (ABB'A') của hình hộp và cắt các cạnh AD, BC, A'D', B'C' lần lượt tại M, N, M', N' (H.4.54). Chứng minh rằng ABNM.A'B'N'M' là hình hộp.

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

Để chứng minh một khối đa diện là hình hộp, ta cần chứng minh nó là một hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.

1. Sử dụng tính chất của hình hộp: Hình hộp là một dạng đặc biệt của hình lăng trụ, có các mặt bên và hai mặt đáy đều là hình bình hành.

2. Sử dụng tính chất của các mặt phẳng song song: Nếu hai mặt phẳng song song, thì các giao tuyến của chúng với một mặt phẳng thứ ba cũng song song với nhau.

3. Dấu hiệu nhận biết hình lăng trụ: Khối đa diện có hai mặt đáy song song và các cạnh bên song song với nhau là hình lăng trụ.

4. Dấu hiệu nhận biết hình bình hành: Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

Chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức này để giải quyết bài toán.

Giải bài 4.27 trang 94 Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức:

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên các cạnh bên AA', BB', CC', DD' đôi một song song với nhau và (ABCD) // (A'B'C'D').

Vì M thuộc AD và N thuộc BC nên MN nằm trong mặt phẳng ABCD, tương tự M'N' nằm trong mặt phẳng (A'B'C'D'). Do đó, (ABNM) // (A'B'N'M') (*).

Ta có: (ABB'A') // (MNN'M') và mặt phẳng (ABCD) cắt (ABB'A') và (MNN'M') lần lượt theo các giao tuyến AB và MN, do đó AB // MN.

Tương tự, ta chứng minh được: M'N' // A'B'; NN' // BB'; MM' // AA'.

Mà AA' // BB' do đó bốn đường thẳng AA', BB', NN', MM' đôi một song song với nhau (*).

Từ (*) và (**) ⇒ ABNM.A'B'N'M' là hình lăng trụ.

Tứ giác ABNM có AB // MN và AM // BN (do AD // BC) 

⇒ ABNM là hình bình hành.

Tứ giác A'B'N'M' có A'B' // M'N' và A'M' // B'N' (do A'D' // B'C') nên A'B'N'M' là hình bình hành.

Hình lăng trụ ABNM.A'B'N'M' có đáy là hình bình hành

⇒ ABNM.A'B'N'M'nó là hình hộp.