Giải bài 4.22 trang 94 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AA', BB', CC'. Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (ABC).

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

Để chứng minh hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ song song với nhau, chúng ta cần sử dụng dấu hiệu nhận biết sau:

• Dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng song song: Nếu mặt phẳng $(P)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng $(Q)$ thì $(P)//(Q)$.

Trong bài toán này, ta sẽ chứng minh mặt phẳng $(MNP)$ song song với mặt phẳng $(ABC)$ bằng cách tìm hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng $(MNP)$ và chứng minh chúng cùng song song với mặt phẳng $(ABC)$.

1. Sử dụng tính chất lăng trụ: Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành. Từ đó, ta có các cặp cạnh song song.

2. Sử dụng định lý đường trung bình: Áp dụng định lý đường trung bình của hình thang để chứng minh MN // AB và NP // BC.

3. Áp dụng dấu hiệu nhận biết: Kết hợp các mối quan hệ song song đã tìm được để đưa ra kết luận cuối cùng.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh họa như sau:

Vì ABC.A'B'C' là hình hình lăng trụ tam giác nên ABB'A' và BCC'B' là các hình bình hành hay cũng là các hình thang.

Vì M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AA', BB' nên MN là đường trung bình của hình thang ABB'A', do đó MN // AB, suy ra MN song song với mặt phẳng (ABC).

Tương tự, ta chứng minh được NP // BC, suy ra NP song song với mặt phẳng (ABC).

Mặt phẳng (MNP) chứa hai đường thẳng cắt nhau MN và NP cùng song song với mặt phẳng (ABC) nên hai mặt phẳng (MNP) và (ABC) song song với nhau.