Giải bài 4.40 trang 102 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, M' lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, B'C'. Hình chiếu của ∆B'DM qua phép chiếu song song trên (A'B'C'D') theo phương chiếu AA' là

A. ∆B'A'M'.

B. ∆C'D'M'.

C. ∆DMM'.

D. ∆B'D'M'.

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

Để tìm hình chiếu của một hình qua phép chiếu song song, chúng ta cần tìm hình chiếu của từng đỉnh của hình đó.

• Hình chiếu của một điểm: Hình chiếu của một điểm $P$ lên mặt phẳng $(Q)$ theo phương chiếu $l$ là giao điểm của đường thẳng đi qua $P$ và song song với $l$ với mặt phẳng $(Q)$.

• Hình chiếu của một tam giác: Hình chiếu của một tam giác là tam giác được tạo bởi hình chiếu của ba đỉnh của nó.

Trong bài toán này, phương chiếu là đường thẳng AA′. Mặt phẳng chiếu là (A′B′C′D′). Ta sẽ lần lượt tìm hình chiếu của các đỉnh B′,D,M.

Lời giải chi tiết:

Đáp án: D

Ta có hình minh hoạ sau:

Ta có B' là hình chiếu song song của chính nó lên mặt phẳng (A'B'C'D') theo phương chiếu AA' (*).

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên các mặt bên của nó là hình bình hành và các cạnh bên AA', BB', CC', DD' đôi một song song với nhau.

Vì DD' // AA' nên D' là hình chiếu song song của D lên mặt phẳng (A'B'C'D') theo phương chiếu AA' (**).

Xét hình bình hành BCC'B' có M, M' lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, B'C' do đó MM' là đường trung bình của hình bình hành nên MM' // CC', suy ra MM' // AA'.

Vậy M' là hình chiếu song song của điểm M lên mặt phẳng (A'B'C'D') theo phương chiếu AA' (***).

Từ (*), (**) và (***) ⇒ ∆B'D'M' là hình chiếu của ∆B'DM qua phép chiếu song song trên (A'B'C'D') theo phương chiếu AA'.