Hotline 0936685849

Giải bài 5.2 trang 109 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

19:34:3707/10/2023

Chào các em! Hôm nay chúng ta sẽ cùng giải chi tiết Bài 5.2 trang 109 sách giáo khoa Toán 11 Tập 1, bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống. Bài toán này giúp các em củng cố kiến thức về cách tính giới hạn của dãy số dựa trên các quy tắc giới hạn cơ bản.

Đề bài:

Cho hai dãy số không âm (u_n) và (v_n) với $\small \lim_{n\rightarrow +\infty }u_n=2$ và $\small \lim_{n\rightarrow +\infty }v_n=3$ . Tìm các giới hạn sau:

a) $\small \lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{u_{n}^{2}}{v_n-u_n}$

b) $\small \lim_{n\rightarrow +\infty }\sqrt{u_n+2v_n}$

Phân tích và Phương pháp giải:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng các quy tắc về giới hạn của dãy số. Cụ thể:

Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương: Nếu $\lim_{n\to+\infty}u_n=L$ và $\lim_{n\to+\infty}v_n=M$ , thì:
- $\lim_{n\to+\infty}(u_n\pm v_n)=L\pm M$
- $\lim_{n\to+\infty}(u_n\cdot v_n)=L\cdot M$
- $\lim_{n\to+\infty}\frac{u_n}{v_n}=\frac{L}{M}$ (với $M\neq 0$ )
Giới hạn của căn bậc hai: Nếu $\lim_{n\to+\infty}u_n=L$ và $u_{n} \geq 0$ , thì $\lim_{n\to+\infty}\sqrt{u_n}=\sqrt{L}$ .

Dựa vào các quy tắc này, chúng ta sẽ tính từng giới hạn một cách trực tiếp.

Lời giải chi tiết:

a) $\small \lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{u_{n}^{2}}{v_n-u_n}$

Ta có: $\small \lim_{n\rightarrow +\infty }u_n=2$ nên:

$\small \lim_{n\rightarrow +\infty }u_n^2=\lim_{n\rightarrow +\infty }(u_n.u_n)=2.2=4$

Và $\small \lim_{n\rightarrow +\infty }v_n=3$ nên

$\small \lim_{n\rightarrow +\infty }(v_n-u_n)=3-2=1$

Vậy: $\small \lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{u_{n}^{2}}{v_n-u_n}=\frac{4}{1}=4$

b) $\small \lim_{n\rightarrow +\infty }\sqrt{u_n+2v_n}$

Ta có: $\small \lim_{n\rightarrow +\infty }v_n=3$ nên:

$\small \lim_{n\rightarrow +\infty }(2v_n)=\lim_{n\rightarrow +\infty }(2.v_n)=2.3=6$

Và $\small \lim_{n\rightarrow +\infty }u_n=2$ nên $\small \lim_{n\rightarrow +\infty }(u_n+2v_n)=2+6=8$

Vì u_n ≥ 0, v_n ≥ 0 với mọi n nên u_n + 2v_n ≥ 0 với mọi n

Và $\small \lim_{n\rightarrow +\infty }(u_n+2v_n)=8$

Suy ra: $\small \lim_{n\rightarrow +\infty }\sqrt{u_n+2v_n}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

Qua bài tập này, các em đã rèn luyện được cách tính giới hạn của dãy số bằng các quy tắc cơ bản. Việc nắm vững các quy tắc này là nền tảng để giải quyết các bài toán giới hạn phức tạp hơn.

• Xem thêm:

Bài 5.1 trang 109 Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức: Tìm các giới hạn sau:...

Bài 5.3 trang 109 Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức: Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi:...

Bài 5.4 trang 109 Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:...

Bài 5.5 trang 109 Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức: Một bệnh nhân hằng ngày phải uống một viên thuốc 150 mg. Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống...

Bài 5.6 trang 109 Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, có AB = h và góc B bằng α (H.5.3). Từ A kẻ AA₁ ⊥ BC...