Giải bài 4.14 trang 83 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD và P là một điểm thuộc cạnh AC.

a) Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng (AMN) và (BPD).

b) Chứng minh rằng d song song với BD.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Bài toán yêu cầu chúng ta giải hai phần:

1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (AMN) và (BPD): Giao tuyến là một đường thẳng. Để xác định nó, ta cần tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng đó.

2. Chứng minh giao tuyến đó song song với BD: Để chứng minh hai đường thẳng song song, ta có thể chỉ ra rằng chúng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung, hoặc sử dụng định lý về giao tuyến của hai mặt phẳng. Chúng ta sẽ giải quyết bài toán theo từng bước một cách logic.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh hoạ như sau:

a) Trong ΔABC, gọi giao điểm của hai đường thẳng BP và AM là E.

Trong ΔACD, gọi giao điểm của hai đường thẳng DP và AN là F.

Vì E thuộc AM nên E thuộc mặt phẳng (AMN), vì F thuộc AN nên F thuộc mặt phẳng (AMN),

⇒ Đường thẳng EF nằm trong mặt phẳng (AMN).

Vì E thuộc BP nên E thuộc mặt phẳng (BPD), vì F thuộc DP nên F thuộc mặt phẳng (BPD),

⇒ Đường thẳng EF nằm trong mặt phẳng (BPD).

Vậy đường thẳng EF là giao tuyến của hai mặt phẳng (AMN) và (BPD) hay đường thẳng d cần tìm chính là đường thẳng EF.

b) Xét ΔBCD có M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD nên MN là đường trung bình của ΔBCD, do đó MN // BD.

Hai mặt phẳng (AMN) và (BPD) có chứa hai đường thẳng song song là MN và BD.

⇒ Giao tuyến d của hai mặt phẳng (AMN) và (BPD) song song với MN và BD.

Vậy d // BD.