Giải bài 4.43 trang 103 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trên cạnh SC và cạnh AB lần lượt lấy điểm M và N sao cho CM = 2SM và BN = 2AN.

a) Xác định giao điểm K của mặt phẳng (ABM) với đường thẳng SD. Tính tỉ số 

b) Chứng minh rằng MN // (SAD).

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

Để giải quyết bài toán này, các em cần sử dụng các kiến thức sau:

1. Tính chất hình bình hành: Các cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

2. Định lý Thalès: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại, thì nó định ra trên hai cạnh đó các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

3. Dấu hiệu nhận biết hình bình hành: Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

4. Dấu hiệu nhận biết đường thẳng song song với mặt phẳng: Nếu một đường thẳng không nằm trong một mặt phẳng và song song với một đường thẳng khác nằm trong mặt phẳng đó, thì đường thẳng ban đầu song song với mặt phẳng.

Chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức này để giải quyết từng phần của bài toán.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh hoạ như sau:

a) Trong mặt phẳng (SCD), từ M kẻ MK song song với CD (K thuộc SD).

Vì CD // AB (ABCD là hình bình hành) nên MK // AB. Do đó, MK nằm trong mặt phẳng (ABM) hay K thuộc mặt phẳng (ABM).

Mà K thuộc SD, do vậy K là giao điểm của mặt phẳng (ABM) với đường thẳng SD.

Xét ΔSCD có KM // CD, theo định lí Thalés ta có:

Mà CM = 2SM, suy ra 

Vậy:

b) Từ câu a) ta có:

Mà BN = 2AN, suy ra 

Nên có:

 mà AB = CD (do ABCD là hình bình hành) nên AN = KM.

Mà KM // AN (do KM // AB).

Xét tứ giác ANMK có KM = AN và KM // AN nên tứ giác ANMK là hình bình hành.

⇒ AK // MN.

Vì K thuộc SD nên K thuộc mặt phẳng (SAD), 

⇒ AK nằm trong mặt phẳng (SAD).

Khi đó đường thẳng MN song song với đường thẳng AK và đường thẳng AK nằm trong mặt phẳng (SAD).

Vậy MN song song với mặt phẳng (SAD).