Giải bài 4.31 trang 100 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Phép chiếu song song biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C'. Chứng minh rằng phép chiếu đó biến trọng tâm của tam giác ABC thành trọng tâm của tam giác A'B'C'.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để chứng minh rằng phép chiếu song song biến trọng tâm của tam giác thành trọng tâm của tam giác hình chiếu, chúng ta sẽ dựa vào hai tính chất cơ bản của phép chiếu song song:

1. Tính chất 1: Phép chiếu song song biến trung điểm của một đoạn thẳng thành trung điểm của đoạn thẳng hình chiếu.

2. Tính chất 2: Phép chiếu song song bảo toàn tỉ lệ của ba điểm thẳng hàng. Trọng tâm của tam giác được định nghĩa là giao điểm của ba đường trung tuyến, và nó chia mỗi đường trung tuyến theo một tỉ lệ nhất định.

Lời giải chi tiết:

Gọi G là trọng tâm của ΔABC và G' là hình chiếu song song của nó.

Gọi M là trung điểm của BC thì A, G, M thẳng hàng theo thứ tự đó.

Gọi M' là hình chiếu của M.

Khi đó, theo tính chất của phép chiếu song song ta có:

A', G', M' thẳng hàng theo thứ tự đó và:

  (*)

B', M', C' thẳng hàng theo thứ tự đó và:

 (**)

Từ (*) và (**) ⇒ G' là trọng tâm của ΔA'B'C'.