Giải bài 4.46 trang 103 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM = 3AM. Mặt phẳng (P) đi qua M song song với hai đường thẳng AD và BC.

a) Xác định giao điểm K của mặt phẳng (P) với đường thẳng CD.

b) Tính tỉ số 

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng các kiến thức sau:

1. Tính chất giao tuyến: Nếu một mặt phẳng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của nó với bất kỳ mặt phẳng nào chứa đường thẳng đó (nếu có) cũng sẽ song song với đường thẳng đó.

2. Định lý Thalès: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

3. Xác định giao điểm và tỉ số: Bằng cách kẻ các đường thẳng phụ và áp dụng định lý Thalès, chúng ta sẽ tìm được vị trí của điểm K và tỉ số cần tìm.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh hoạ như sau:

a) Trong mặt phẳng (ABD), qua M kẻ đường thẳng song song với AD cắt BD tại E.

Trong mặt phẳng (ABC), qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại F.

Trong mặt phẳng (ACD), qua F kẻ đường thẳng song song với AD cắt CD tại K.

Vì vậy, mặt phẳng (P) đi qua M song song với hai đường thẳng AD và BC là mặt phẳng (MEKF).

Vì K thuộc mặt phẳng (MEKF) nên K thuộc mặt phẳng (P).

Vậy K là giao điểm của mặt phẳng (P) và đường thẳng CD.

b) Ta có: BM + AM = AB.

Mà BM = 3AM hay AM = BM nên BM + BM = AB

Xét ΔBAD có ME // AD, theo định lí Thalés ta có: 

Xét ΔBCD có EK // BC, theo định lí Thalés ta có:

Vậy