Bài 4.27 SGK Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức

Đề bài 4.27 - SGK Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Một mặt phẳng song song với mặt bên (ABB'A') của hình hộp và cắt các cạnh AD, BC, A'D', B'C' lần lượt tại M, N, M', N' (H.4.54). Chứng minh rằng ABNM.A'B'N'M' là hình hộp.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 4.27 SGK Toán 11 Tập 1:

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên các cạnh bên AA', BB', CC', DD' đôi một song song với nhau và (ABCD) // (A'B'C'D').

Vì M thuộc AD và N thuộc BC nên MN nằm trong mặt phẳng ABCD, tương tự M'N' nằm trong mặt phẳng (A'B'C'D'). Do đó, (ABNM) // (A'B'N'M') (*).

Ta có: (ABB'A') // (MNN'M') và mặt phẳng (ABCD) cắt (ABB'A') và (MNN'M') lần lượt theo các giao tuyến AB và MN, do đó AB // MN.

Tương tự, ta chứng minh được: M'N' // A'B'; NN' // BB'; MM' // AA'.

Mà AA' // BB' do đó bốn đường thẳng AA', BB', NN', MM' đôi một song song với nhau (*).

Từ (*) và (**) ⇒ ABNM.A'B'N'M' là hình lăng trụ.

Tứ giác ABNM có AB // MN và AM // BN (do AD // BC) 

⇒ ABNM là hình bình hành.

Tứ giác A'B'N'M' có A'B' // M'N' và A'M' // B'N' (do A'D' // B'C') nên A'B'N'M' là hình bình hành.

Hình lăng trụ ABNM.A'B'N'M' có đáy là hình bình hành

⇒ ABNM.A'B'N'M'nó là hình hộp.