Chứng minh đồng quy (3 đường đồng quy) lớp 11 - Hỏi đáp Toán 11

Vậy để chứng minh 3 đường đồng quy lớp 11 như nào? hãy cùng HayHocHoi tìm hiểu qua bài viết này.

I. Cách chứng minh 3 đường đồng quy

Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta có thể làm theo một trong hai cách sau:

• Cách 1: chứng minh giao điểm của hai đường này là điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba

• Cách 2: Dựa vào định lí: Ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến khi đó; ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song

II. Ví dụ chứng minh 3 đường đồng quy lớp 11

* Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi E; F; G là các điểm lần lượt thuộc các cạnh AB; AC; BD sao cho EF cắt BC tại I; EG cắt AD tại H. Chứng minh 3 đường thẳng CD; IG; HF đồng quy.

Lời giải:

Ta có hình minh họa:

Gọi O là giao điểm của HF và IG . Ta có

- O ∈ HF mà HF ⊂ (ACD) suy ra O ∈ (ACD)

- O ∈ IG mà IG ⊂ (BCD) suy ra O ∈ (BCD)

Do đó O ∈ (ACD) ∩ (BCD)    (1)

Mà (ACD) ∩ (BCD) = CD   (2)

Từ (1) và (2), suy ra O ∈ CD.

Vậy ba đường thẳng CD; IG; HF đồng quy tại O. (đpcm)

* Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD không phải là hình thang. Trên cạnh SC lấy điểm M . Gọi N là giao điểm của SD và mp (AMB). Chứng minh ba đường AB; CD và MN đồng quy.

Lời giải:

Ta có hình minh họa sau:

Trong mp (ABCD) gọi I là giao điểm của AD và BC

Trong mp (SBC), gọi K là giao điểm của BM và SI

Trong mp (SAD); gọi N là giao điểm của AK và SD

Khi đó N là giao điểm của đường thẳng SD với mp(AMB)

- Gọi O là giao điểm của AB và CD. Ta có:

   + O ∈ AB mà AB ⊂ (AMB) suy ra O ∈ (AMB)

   + O ∈ CD mà CD ⊂ (SCD) suy ra O ∈ (SCD

⇒ O ∈ (AMB) ∩ (SCD)    (1)

Mà MN = (AMB) ∩ (SCD)    (2)

Từ (1) và (2) , suy ra O ∈ MN.

Vậy ba đường thẳng AB; CD và MN đồng quy.

* Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, O là giao điềm của AC và BD. Gọi M là trug điểm của SC và AM cắt SO tại I. Chứng minh 3 đường thẳng SI ; AC; BD đồng quy.

Lời giải:

Ta có hình minh họa như sau:

Giao tuyến của (SAC) và (SBD) là SO

Giao tuyến của (SAC) và (ABCD) là AC

Giao tuyên của (SBD) và (ABCD) là BD.

⇒ Ba mặt phẳng (SAC); (SBD) và (ABCD) cắt nhau theo 3 giao tuyến

Mà giao tuyến AC cắt BD tại O nên 3 đường AC, BD, SI đồng quy tại O

* Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD, AC và BD cắt nhau tại O. Một mặt phẳng cắt các cạnh SA; SB; SC; SD lần lượt tại A’; B’; C’ và D’. Giả sử AD cắt BC tại E; A’D’ cắt B’C’ tại E’. Chứng minh 3 đường thẳng A’C’; B’D’; SO đồng quy?

* Bài tập 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Một mặt phẳng (α) cắt các cạnh bên SA; SB;SC và SD tương ứng tại các điểm M, N, P, Q. Chứng minh 3 đường thẳng MP, NQ, SO đồng qui.