Bài 4.26 SGK Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức

Đề bài 4.26 - SGK Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức:

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A'B'C'.

a) Chứng minh rằng tứ giác AGG'A' là hình bình hành.

b) Chứng minh rằng AGC.A'G'C' là hình lăng trụ.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 4.26 SGK Toán 11 Tập 1:

Ta có hình minh họa như sau:

a) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và B'C'. Khi đó ta có MN là đường trung bình của hình bình hành BCC'B', suy ra MN // BB' và MN = BB'.

Vì ABC.A'B'C' là hình lăng trụ tam giác nên AA' // BB' và AA' = BB'.

Từ đó suy ra MN // AA' và MN = AA'. Do đó, AMNA' là hình bình hành.

⇒ AM // A'N và AM = A'N.

Vì G và G' lần lượt là trọng tâm của ΔABC và ΔA'B'C' nên 

⇒ AG = A'G' và AG // A'G'.

⇒ Tứ giác AGG'A' là hình bình hành.

b) Vì tứ giác AGG'A' là hình bình hành nên AA' // GG'.

Tương tự ta chứng minh được CGG'C' là hình bình hành nên CC' // GG'.

⇒ 3 đường thẳng AA', GG' và CC' đôi một song song.

Mặt khác, hai mặt phẳng (AGC) và (A'G'C') song song với nhau.

⇒ AGC.A'G'C' là hình lăng trụ tam giác.