Giải bài 4.26 trang 94 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A'B'C'.

a) Chứng minh rằng tứ giác AGG'A' là hình bình hành.

b) Chứng minh rằng AGC.A'G'C' là hình lăng trụ.

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng các kiến thức sau:

1. Tính chất hình lăng trụ: Các cạnh bên của hình lăng trụ song song và bằng nhau. Các mặt bên là hình bình hành.

2. Tính chất trọng tâm: Trọng tâm chia đường trung tuyến thành hai đoạn thẳng theo tỉ lệ 2:1.

3. Dấu hiệu nhận biết hình bình hành: Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

4. Dấu hiệu nhận biết hình lăng trụ: Khối đa diện có hai mặt đáy song song và các cạnh bên song song với nhau.

Chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức này để giải quyết từng phần của bài toán.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh họa như sau:

a) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và B'C'. Khi đó ta có MN là đường trung bình của hình bình hành BCC'B', suy ra MN // BB' và MN = BB'.

Vì ABC.A'B'C' là hình lăng trụ tam giác nên AA' // BB' và AA' = BB'.

Từ đó suy ra MN // AA' và MN = AA'. Do đó, AMNA' là hình bình hành.

⇒ AM // A'N và AM = A'N.

Vì G và G' lần lượt là trọng tâm của ΔABC và ΔA'B'C' nên 

⇒ AG = A'G' và AG // A'G'.

⇒ Tứ giác AGG'A' là hình bình hành.

b) Vì tứ giác AGG'A' là hình bình hành nên AA' // GG'.

Tương tự ta chứng minh được CGG'C' là hình bình hành nên CC' // GG'.

⇒ 3 đường thẳng AA', GG' và CC' đôi một song song.

Mặt khác, hai mặt phẳng (AGC) và (A'G'C') song song với nhau.

⇒ AGC.A'G'C' là hình lăng trụ tam giác.