Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục - Toán lớp 11

Bài viết dưới đây sẽ giúp ta biết cách xét tính liên tục của hàm số, vận dụng giải các dạng bài tập về hàm số liên tục như: Xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm (x=0), trên một đoạn hay một khoảng, tìm các điểm gián đoạn của hàm số, hay chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm.

I. Lý thuyết về hàm số liên tục (tóm tắt)

1. Hàm số liên tục tại 1 điểm

- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x₀ ∈ (a;b). Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x₀ nếu:

- Hàm số f(x₀) không liên tục tại điểm x₀ thì x₀ được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x).

2. Hàm số liên tục trên một khoảng

- Định nghĩa: Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

- Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoan [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và:

3. Một số định lý cơ bản về hàm số liên tục

• Định lý 1:

a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.

b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của 2 đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.

• Định lý 2:

- Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x₀. Khi đó:

a) Các hàm số f(x) + g(x); f(x) - g(x) và f(x).g(x) liên tục tại x₀.

b) hàm số  liên tục tại x₀ nếu g(x₀) ≠ 0.

• Định lý 3:

- Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a)f(b) < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a;b) sao cho f(c) = 0.

II. Các dạng bài tập về hàm số liên tục

° Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x₀.

* Phương pháp:

- Bước 1: Tính f(x₀)

- Bước 2: Tính  hoặc

- Bước 3: So sánh:  hoặc  với  rồi rút ra kết luận

- Nếu  hoặc  thì kết luận hàm số liên tục tại 

- Nếu  không tồn tại hoặc  thì kết luận hàm số không liên tục tại x₀.

- Bước 4: Kết luận.

* Ví dụ 1 (Bài 1 trang 140 SGK Đại số 11): Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số f(x)=x³ + 2x - 1 tại x₀=3.

° Lời giải ví dụ 1 (Bài 1 trang 140 SGK Đại số 11):

- Ta có: f(x) = x³ + 2x - 1

⇒ f(3) = 3³ + 2.3 - 1 = 32

⇒ f(x) liên tục tại x₀ = 3.

* Ví dụ 2 (Bài 2 trang 140 SGK Đại số 11): a) Xét tính liên tục của hàm số y = g(x) tại x₀ = 2, biết:

b) Trong biểu thức g(x) ở trên, cần thay số 5 bởi số nào đó để hàm số liên tục tại x₀ = 2.

° Lời giải ví dụ 2 (Bài 2 trang 140 SGK Đại số 11):

- Ta có: g(2) = 5.

⇒ g(x) không liên tục tại x₀ = 2.

b) Để g(x) liên tục tại x₀ = 2 thì:

- Vậy chỉ cần thay 5 bằng 12 thì hàm số liên tục tại x₀ = 2.

* Ví dụ 3: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x = 1.

° Lời giải ví dụ 3:

- Ta có: f(1) = 1

⇒ Vậy hàm số f(x) không liên tục (gián đoạn) tại điểm x = 1.

* Ví dụ 4: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x = 0.

° Lời giải ví dụ 4:

- Ta có: f(0) = 0² - 2.0 + 2 = 2.

⇒ Vậy hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 0.

° Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng, một đoạn.

* Phương pháp:

- Áp dụng định lý 1, định lý 2 để xét tính liên tục của hàm số trên từng khoảng xác định của nó.

- Nếu hàm số xác định bởi 2 hoặc 3 công thức, ta thường xét tính liên tục tại các điểm đặc biệt của hàm số đó.

* Ví dụ 1: Cho hàm số 

Chứng minh rằng hàm số liên tục trên khoảng (-7;+∞).

° Lời giải:

• Khi x > 2 thì f(x) = x² - x + 4 là hàm liên tục trên khoảng (2; +∞).

• Khi -7 < x < 2 thì 

- Hàm số y = x - 2 là đa thức nên nó liên tục trên khoảng (-7;2)

- Hàm số y = x + 7 là đa thức nên nó liên tục trên khoảng (-7;2)

 ⇒ hàm số  liên tục trên khoảng (-7;2)

 ⇒ hàm số  liên tục trên khoảng (-7;2)

- Mặt khác: 

 Vậy hàm số  liên tục trên khoảng (-7;2).

• Khi x = 2 thì f(2) = 2² - 2 + 4 = 6.

⇒ Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 2.

- Kết luận: Hàm số f(x) liên tục trên khoảng (-7;+∞).

* Ví dụ 2: Tìm a, b để hàm số sau liên tục: 

° Lời giải:

• Khi x < 3 thì f(x) = 1 là hàm hằng nên nó liên tục trên khoảng (-∞;3)

• Khi 3 < x < 5 thì f(x) = ax + b là đa thwucs nên nó liên tục trên khoảng (3;5)

• Khi x > 5 thì f(x) = 3 là hàm hằng nên nó liên tục trên khoảng (5;+∞).

• Khi x = 3 thì f(3)  = 3a + b

⇒ Để hàm số liên tục tại điểm x = 3 thì:

   (*)

• Khi x = 5 thì f(5)  = 5a + b

⇒ Để hàm số liên tục tại điểm x = 5 thì:

  (**)

Từ (*) và (**) ta có: 

- Vậy khi a = 1 và b = -2 thì hàm số f(x) liên tục trên R, khi đó:

* Ví dụ 3 (Bài 4 trang 141 SGK Đại số 11): Cho các hàm số  và g(x) = tanx + sinx. Với mỗi hàm số, hãy xác định các khoảng trên đó hàm liên tục.

° Lời giải ví dụ 3 (Bài 4 trang 141 SGK Đại số 11):

• Hàm số  xác định khi và chỉ khi:

 x² + x - 6 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 và x ≠ -3.

 ⇒ TXĐ: D = R{-3;2}

- Hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (-∞;-3), (-3;2) và (2;+∞).

• Hàm số g(x) = tanx + sinx xác định khi và chỉ khi:

- Hàm số g(x) liên tục trên các khoảng: 

° Dạng 3: Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x)

* Phương pháp: x₀ là điểm gián đoạn của hàm số f(x) nếu tại điểm x₀ hàm số không liên tục. Thông thường x₀ thỏa mãn một trong các trường hợp sau:

1) f(x) không tồn tại

2)  không tồn tại

3) 

* Ví dụ: Cho a và b là hai tham số, tìm các điểm gián đoạn của hàm số sau:

° Lời giải:

- TXĐ: R nên ta chỉ xét sự gián đoạn của hàm số tại các điểm x = 0 và x = 3.

• Tại x = 0.

- Ta có: f(0) = a và

⇒ x = 0 là điểm gián đoạn của hàm số.

• Tại x = 3.

- Ta có: f(3) = b và

- Nếu  và với mọi a thì điểm gián đoạn của hàm số là x = 0; x = 3;

- Nếu  và với mọi a thì điểm gián đoạn của hàm số là x = 0;

° Dạng 4: Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm.

* Phương pháp: 

1) Chứng mình phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm

- Tìm hai số a, b sao cho f(a).f(b) < 0

- Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a,b]

- Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x₀ ∈ (a;b).

2) Chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất k nghiệm

- Tìm k cặp số a_i, b_i sao cho các khoảng (a_i; b_i) rời nhau và:

 f(a_i).f(b_i) < 0, i =1, 2,... , k

- Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x_i (a_i; b_i).

3) Khi phương trình f(x) = 0 có chứa tham số thì cần chọn a, b sao cho:

- f(a), f(b) không còn chứa tham số hoặc còn chứa tham số nhưng dấu không đổi.

- Hoặc f(a), f(b) còn chứa tham số nhưng tích f(a).f(b) luôn âm.

* Ví dụ 1 (Bài 6 trang 141 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng phương trình:

b) cosx = x có nghiệm

° Lời giải ví dụ 1 (Bài 6 trang 141 SGK Đại số 11):

a) Đặt f(x) = 2x³ – 6x + 1

- f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R.

- Vậy ta có:

 f(-2) = 2.(-2)³ – 6(-2) + 1 = - 3 < 0

 f(0) = 1 > 0

 f(1) = 2.1³ – 6.1 + 1 = -3 < 0.

⇒ f(-2).f(0) < 0 và f(0).f(1) < 0

⇒ phương trình f(x) = 0 có ít nhất hai nghiệm.

b) Xét hàm số g(x) = x – cosx liên tục trên R.

- Do đó liên tục trên đoạn [-π; π] ta có:

 g(-π) = -π – cos(-π) = -π + 1 < 0

 g(π) = π – cosπ = π - (-1) = π + 1 > 0

⇒ g(-π). g(π) < 0

⇒ Phương trình x – cosx = 0 có nghiệm trong khoảng (-π; π)

⇒ Phương trình cosx = x có nghiệm.

* Ví dụ 2: Chứng minh rằng phương trình (1 - m²)x⁵ - 3x - 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m.

° Lời giải ví dụ 2:

• Đặt f(x) = (1 - m²)x⁵ - 3x - 1

- Ta có: f(0) = -1; f(-1) = m² + 1

⇒ f(0).f(-1) = -1.(m² + 1) = -(m² + 1) < 0, ∀m ∈ R.

- Mặt khác: f(x) = (1 - m²)x⁵ - 3x - 1 là hàm đa thức nên liên tục trên [-1;0]

⇒ Phương trình (1 - m²)x⁵ - 3x - 1 = 0 có ít nhất một nghiệm x₀ ∈ (-1;0)

⇒ Phương trình (1 - m²)x⁵ - 3x - 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m.

* Ví dụ 3: Cho phương trình ax² + bx + c = 0, (a ≠ 0) thỏa mãn 2a + 6b + 19c = 0. Chứng minh phương trình có nghiệm trong [0;1/3].

° Lời giải ví dụ 3:

• Đặt f(x) = ax² + bx + c ; (a ≠ 0) liên tục trên R

- Ta có:  

 trái dấu hoặc 

- Vậy phương trình ax² + bx + c = 0, (a ≠ 0)  có nghiệm trong đoạn [0;1/3].