Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập và lỗi sai thường gặp (Toán 11)

Bài viết dưới đây sẽ giúp các em nắm vững cách xét tính liên tục của hàm số, từ đó vận dụng giải các dạng bài tập thường gặp như: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm ($x_0$), trên một đoạn hay một khoảng; tìm các điểm gián đoạn của hàm số; hay chứng minh phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm.

I. Lý thuyết về hàm số liên tục (Tóm tắt)

1. Hàm số liên tục tại 1 điểm

• Định nghĩa: Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; b)$ và $x_0 \in (a; b)$. Hàm số $y = f(x)$ được gọi là liên tục tại $x_0$ nếu:

  $$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$$

• Nếu hàm số $f(x)$ không liên tục tại điểm $x_0$ thì $x_0$ được gọi là điểm gián đoạn của hàm số $f(x)$.

2. Hàm số liên tục trên một khoảng

• Định nghĩa: Hàm số $y = f(x)$ được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

• Hàm số $y = f(x)$ được gọi là liên tục trên đoạn $[a; b]$ nếu nó liên tục trên khoảng $(a; b)$ và:

  $$\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a), \quad \lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$$

3. Một số định lý cơ bản về hàm số liên tục

• Định lý 1:

  a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực $\mathbb{R}$.

  b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của 2 đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.

   

• Định lý 2:

  Giả sử$f(x)$và$g(x)$là hai hàm số liên tục tại điểm $x_0$. Khi đó:

  a) Các hàm số $f(x) + g(x)$, $f(x) - g(x)$ và $f(x) \cdot g(x)$ liên tục tại $x_0$.

  b) Hàm số $\frac{f(x)}{g(x)}$ liên tục tại $x_0$ nếu $g(x_0) \neq 0$.

   

• Định lý 3:

  Nếu hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$ và $f(a)f(b) < 0$, thì tồn tại ít nhất một điểm $c \in (a; b)$ sao cho $f(c) = 0$.

II. Các dạng bài tập về hàm số liên tục

Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm $x_0$

Phương pháp:

• Bước 1: Tính giá trị $f(x_0)$.

• Bước 2: Tính $\lim_{x \to x_0} f(x)$ (hoặc tính giới hạn hai bên $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ và $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$).

• Bước 3: So sánh $\lim_{x \to x_0} f(x)$ (hoặc $\lim_{x \to x_0^+} f(x), \lim_{x \to x_0^-} f(x)$) với $f(x_0)$ rồi rút ra kết luận:

  • Nếu $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ hoặc $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$ thì kết luận hàm số liên tục tại $x_0$.

  • Nếu $\lim_{x \to x_0} f(x)$ không tồn tại hoặc $\lim_{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0)$ thì kết luận hàm số không liên tục (gián đoạn) tại $x_0$.

• Bước 4: Kết luận.

Ví dụ 1: Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số $f(x) = x^3 + 2x - 1$ tại $x_0 = 3$.

• Lời giải:

  Ta có: $f(x) = x^3 + 2x - 1$

  $\Rightarrow f(3) = 3^3 + 2 \cdot 3 - 1 = 32$

  $\lim_{x \to 3} (x^3 + 2x - 1) = \lim_{x \to 3} x^3 + 2 \cdot \lim_{x \to 3} x - 1 = 3^3 + 2 \cdot 3 - 1 = 32$

  $\Rightarrow \lim_{x \to 3} f(x) = f(3)$

  $\Rightarrow f(x)$ liên tục tại $x_0 = 3$.

Ví dụ 2: a) Xét tính liên tục của hàm số $y = g(x)$ tại $x_0 = 2$, biết:

b) Trong biểu thức $g(x)$ ở trên, cần thay số $5$ bởi số nào đó để hàm số liên tục tại $x_0 = 2$.

• Lời giải:

  a) Ta có: $g(2) = 5$.

  $\lim_{x \to 2} g(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{x - 2}$

  $= \lim_{x \to 2} (x^2 + 2x + 4) = 2^2 + 2 \cdot 2 + 4 = 12$

  $\Rightarrow \lim_{x \to 2} g(x) \neq g(2)$

  $\Rightarrow g(x)$ không liên tục tại $x_0 = 2$.

b) Để $g(x)$ liên tục tại $x_0 = 2$ thì:

$\Rightarrow g(2) = \lim_{x \to 2} f(x) = 12$

Vậy chỉ cần thay $5$ bằng $12$ thì hàm số liên tục tại $x_0 = 2$.

Ví dụ 3: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm $x = 1$.

• Lời giải:

  Ta có: $f(1) = 1$

  $\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x - 3)}{(x - 1)(x + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x - 3}{x + 1}$

  $= \frac{1 - 3}{1 + 1} = -1$

  $\Rightarrow \lim_{x \to 1} f(x) \neq f(1)$

  $\Rightarrow$ Vậy hàm số $f(x)$ không liên tục (gián đoạn) tại điểm $x = 1$.

Ví dụ 4: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm $x = 0$.

• Lời giải:

  Ta có: $f(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 + 2 = 2$.

  $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{5x - \sin 3x}{x} = \lim_{x \to 0^+} \left( 5 - 3 \cdot \frac{\sin 3x}{3x} \right) = 5 - 3 = 2$

  $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x^2 - 2x + 2) = 2$

  $\Rightarrow \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = 2$

  $\Rightarrow$ Vậy hàm số $f(x)$ liên tục tại điểm $x = 0$.

Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng, một đoạn

Phương pháp:

• Áp dụng định lý 1, định lý 2 để xét tính liên tục của hàm số trên từng khoảng xác định của nó.

• Nếu hàm số xác định bởi 2 hoặc 3 công thức, ta thường phải xét thêm tính liên tục tại các "điểm nối" (điểm đặc biệt) của hàm số đó.

Ví dụ 1: Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} x^2 - x + 4, & x \ge 2 \\ \frac{x - 2}{\sqrt{x + 7} - 3}, & -7 < x < 2 \end{cases}$. Chứng minh rằng hàm số liên tục trên khoảng $(-7; +\infty)$.

Lời giải:

• Khi $x > 2$ thì $f(x) = x^2 - x + 4$ là hàm đa thức nên nó liên tục trên khoảng $(2; +\infty)$.

• Khi $-7 < x < 2$ thì $f(x) = \frac{x - 2}{\sqrt{x + 7} - 3}$.

  • Hàm số $y = x - 2$ là đa thức nên nó liên tục trên khoảng $(-7; 2)$.

  • Hàm số $y = x + 7$ là đa thức nên nó liên tục trên khoảng $(-7; 2) \Rightarrow$ hàm số $y = \sqrt{x + 7}$ liên tục trên khoảng $(-7; 2) \Rightarrow$ hàm số $y = \sqrt{x + 7} - 3$ liên tục trên khoảng $(-7; 2)$.

  • Mặt khác: $\sqrt{x + 7} - 3 \neq 0, \forall x \in (-7; 2)$.

    Vậy hàm số $f(x) = \frac{x - 2}{\sqrt{x + 7} - 3}$ liên tục trên khoảng $(-7; 2)$.

• Khi $x = 2$ thì $f(2) = 2^2 - 2 + 4 = 6$.

  $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x^2 - x + 4) = 6$$
  $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{x - 2}{\sqrt{x + 7} - 3} = \lim_{x \to 2^-} \frac{(x - 2)(\sqrt{x + 7} + 3)}{(\sqrt{x + 7} - 3)(\sqrt{x + 7} + 3)}$$
  $$= \lim_{x \to 2^-} (\sqrt{x + 7} + 3) = \sqrt{2 + 7} + 3 = 6$$

  $\Rightarrow \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^-} f(x) = f(2) = 6$

  $\Rightarrow$ Hàm số $f(x)$ liên tục tại điểm $x = 2$.

• Kết luận: Hàm số $f(x)$ liên tục trên khoảng $(-7; +\infty)$.

Ví dụ 2: Tìm $a, b$ để hàm số sau liên tục:

Lời giải:

• Khi $x < 3$ thì $f(x) = 1$ là hàm hằng nên nó liên tục trên khoảng $(-\infty; 3)$.

• Khi $3 < x < 5$ thì $f(x) = ax + b$ là đa thức nên nó liên tục trên khoảng $(3; 5)$.

• Khi $x > 5$ thì $f(x) = 3$ là hàm hằng nên nó liên tục trên khoảng $(5; +\infty)$.

• Khi $x = 3$ thì $f(3) = 3a + b$.

  $$\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (ax + b) = 3a + b$$
  $$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (1) = 1$$

  $\Rightarrow$ Để hàm số liên tục tại điểm $x = 3$ thì:

  $$\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^-} f(x) = f(3) \Rightarrow 3a + b = 1 \quad (*)$$

• Khi $x = 5$ thì $f(5) = 5a + b$.

  $$\lim_{x \to 5^+} f(x) = \lim_{x \to 5^+} (3) = 3$$
  $$\lim_{x \to 5^-} f(x) = \lim_{x \to 5^-} (ax + b) = 5a + b$$

  $\Rightarrow$ Để hàm số liên tục tại điểm $x = 5$ thì:

  $$\lim_{x \to 5^+} f(x) = \lim_{x \to 5^-} f(x) = f(5) \Rightarrow 5a + b = 3 \quad (**)$$

• Từ $(*)$ và $()$ ta có hệ phương trình:

  $$\begin{cases} 3a + b = 1 \\ 5a + b = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 1 \\ b = -2 \end{cases}$$

• Vậy khi $a = 1$ và $b = -2$ thì hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, khi đó:

  $$f(x) = \begin{cases} 1, & x < 3 \\ x - 2, & 3 \le x \le 5 \\ 3, & x > 5 \end{cases}$$

Ví dụ 3: Cho các hàm số $f(x) = \frac{x + 1}{x^2 + x - 6}$ và $g(x) = \tan x + \sin x$. Với mỗi hàm số, hãy xác định các khoảng trên đó hàm liên tục.

Lời giải:

• Hàm số $f(x) = \frac{x + 1}{x^2 + x - 6}$ xác định khi và chỉ khi:

  $$x^2 + x - 6 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 2 \text{ và } x \neq -3$$

  $\Rightarrow$ TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{-3; 2\}$

  Hàm số $f(x)$ liên tục trên các khoảng $(-\infty; -3)$, $(-3; 2)$ và $(2; +\infty)$.

• Hàm số $g(x) = \tan x + \sin x$ xác định khi và chỉ khi:

  $$\cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, (k \in \mathbb{Z})$$

  Hàm số $g(x)$ liên tục trên các khoảng: $\left(-\frac{\pi}{2} + k\pi; \frac{\pi}{2} + k\pi\right), k \in \mathbb{Z}$.

Dạng 3: Tìm điểm gián đoạn của hàm số $f(x)$

Phương pháp:

$x_0$ là điểm gián đoạn của hàm số $f(x)$ nếu tại điểm $x_0$ hàm số không liên tục. Thông thường $x_0$ thỏa mãn một trong các trường hợp sau:

1. $f(x_0)$ không tồn tại.

2. $\lim_{x \to x_0} f(x)$ không tồn tại.

3. $\lim_{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0)$.

Ví dụ: Cho $a$ và $b$ là hai tham số, tìm các điểm gián đoạn của hàm số sau:

Lời giải:

• TXĐ: $\mathbb{R}$ nên ta chỉ xét sự gián đoạn của hàm số tại các điểm $x = 0$ và $x = 3$.

• Tại $x = 0$:

  Ta có $f(0) = a$ và:

  $$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - x - 6}{x(x - 3)} = +\infty$$

  $\Rightarrow x = 0$ là điểm gián đoạn của hàm số.

• Tại $x = 3$:

  Ta có $f(3) = b$ và:

  $$\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - x - 6}{x(x - 3)} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 2)}{x(x - 3)} = \lim_{x \to 3} \frac{x + 2}{x} = \frac{3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$$

• Kết luận:

  • Nếu $b \neq \frac{5}{3}$ và với mọi $a$ thì điểm gián đoạn của hàm số là $x = 0; x = 3$.

  • Nếu $b = \frac{5}{3}$ và với mọi $a$ thì điểm gián đoạn của hàm số là $x = 0$.

Dạng 4: Chứng minh phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm

Phương pháp:

1. Chứng minh phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm:

   • Tìm hai số $a, b$ sao cho $f(a) \cdot f(b) < 0$.

   • Hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$.

   • Suy ra phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm $x_0 \in (a; b)$.

2. Chứng minh phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất $k$ nghiệm:

   • Tìm $k$ cặp số $a_i, b_i$ sao cho các khoảng $(a_i; b_i)$ rời nhau và $f(a_i) \cdot f(b_i) < 0$ (với $i = 1, 2, \dots, k$).

   • Khi đó phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm $x_i \in (a_i; b_i)$.

3. Khi phương trình $f(x) = 0$ có chứa tham số:

   • Cần khéo léo chọn $a, b$ sao cho $f(a), f(b)$ không còn chứa tham số hoặc còn chứa tham số nhưng dấu không đổi.

   • Hoặc $f(a), f(b)$ còn chứa tham số nhưng tích $f(a) \cdot f(b)$ luôn âm.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình:

a) $2x^3 - 6x + 1 = 0$ có ít nhất hai nghiệm.

b) $\cos x = x$ có nghiệm.

Lời giải:

a) Đặt $f(x) = 2x^3 - 6x + 1$

• Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

• $f(x)$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$.

• Ta có:

  $f(-2) = 2(-2)^3 - 6(-2) + 1 = -3 < 0$

  $f(0) = 1 > 0$

  $f(1) = 2(1)^3 - 6(1) + 1 = -3 < 0$

  $\Rightarrow f(-2) \cdot f(0) < 0$ và $f(0) \cdot f(1) < 0$.

• $\Rightarrow f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(-2; 0)$ và ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(0; 1)$.

• Kết luận: Phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất hai nghiệm.

b) Xét hàm số $g(x) = x - \cos x$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

• Do đó hàm số liên tục trên đoạn $[-\pi; \pi]$, ta có:

  $g(-\pi) = -\pi - \cos(-\pi) = -\pi + 1 < 0$

  $g(\pi) = \pi - \cos\pi = \pi - (-1) = \pi + 1 > 0$

  $\Rightarrow g(-\pi) \cdot g(\pi) < 0$.

• $\Rightarrow$ Phương trình $x - \cos x = 0$ có nghiệm trong khoảng $(-\pi; \pi)$.

• Kết luận: Phương trình $\cos x = x$ có nghiệm.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng phương trình $(1 - m^2)x^5 - 3x - 1 = 0$ luôn có nghiệm với mọi $m$.

Lời giải:

• Đặt $f(x) = (1 - m^2)x^5 - 3x - 1$

• Ta có: $f(0) = -1$ và $f(-1) = (1 - m^2)(-1)^5 - 3(-1) - 1 = m^2 + 1$.

  $\Rightarrow f(0) \cdot f(-1) = -1(m^2 + 1) = -(m^2 + 1) < 0, \forall m \in \mathbb{R}$.

• Mặt khác: $f(x) = (1 - m^2)x^5 - 3x - 1$ là hàm đa thức nên liên tục trên đoạn $[-1; 0]$.

  $\Rightarrow$ Phương trình $(1 - m^2)x^5 - 3x - 1 = 0$ có ít nhất một nghiệm $x_0 \in (-1; 0)$.

• Kết luận: Phương trình $(1 - m^2)x^5 - 3x - 1 = 0$ luôn có nghiệm với mọi $m$.

Ví dụ 3: Cho phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$) thỏa mãn $2a + 6b + 19c = 0$. Chứng minh phương trình có nghiệm trong đoạn $\left[0; \frac{1}{3}\right]$.

Lời giải:

• Đặt $f(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$) liên tục trên $\mathbb{R}$.

• Ta có: $f(0) = c$ và $f\left(\frac{1}{3}\right) = a\left(\frac{1}{3}\right)^2 + b\left(\frac{1}{3}\right) + c = \frac{1}{9}(a + 3b + 9c)$.

• Xét tổng:

  $f(0) + 18f\left(\frac{1}{3}\right) = c + 18 \cdot \frac{1}{9}(a + 3b + 9c) = c + 2(a + 3b + 9c) = 2a + 6b + 19c = 0$.

  $\Rightarrow f(0)$ và $f\left(\frac{1}{3}\right)$ trái dấu hoặc $f(0) = f\left(\frac{1}{3}\right) = 0$.

  $\Rightarrow f(0) \cdot f\left(\frac{1}{3}\right) \le 0$.

• Kết luận: Phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$) luôn có nghiệm trong đoạn $\left[0; \frac{1}{3}\right]$.

III. Những lỗi sai thường gặp khi giải toán hàm số liên tục

Trong quá trình ôn tập và làm bài kiểm tra, các em học sinh rất dễ đánh rơi điểm số ở những lỗi sai mang tính bản chất. Dưới đây là các "cú lừa" kinh điển cần đặc biệt lưu ý:

• 1. Bỏ qua bước tìm Tập xác định trước khi xét tính liên tục:

  Nhiều em vội vàng lao vào tính giới hạn ngay lập tức mà quên mất rằng hàm số bắt buộc phải xác định tại điểm $x_0$ thì mới có cơ sở để liên tục tại đó. Đặc biệt đối với các hàm số phân thức hoặc hàm chứa căn, bước đầu tiên luôn phải là đặt điều kiện xác định.

• 2. Bỏ sót giới hạn một bên đối với hàm số cho bởi nhiều công thức:

  Khi hàm số thay đổi biểu thức tại điểm $x_0$ (thường cho dưới dạng điều kiện $x > x_0$ và $x \le x_0$), các em bắt buộc phải tính riêng lẻ cả giới hạn trái $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ và giới hạn phải $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$. Chỉ khi hai giới hạn này bằng nhau và cùng bằng giá trị $f(x_0)$ thì hàm số mới liên tục. Việc chỉ tính một bên rồi vội vàng kết luận là hoàn toàn sai phương pháp.

• 3. Quên lập luận "hàm số liên tục" khi dùng định lý tồn tại nghiệm:

  Để chứng minh phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm trên khoảng $(a; b)$, điều kiện tiên quyết là hàm số $y = f(x)$ phải liên tục trên đoạn $[a; b]$. Đa số học sinh chỉ chăm chăm đi tính $f(a) \cdot f(b) < 0$ mà "quên béng" mất câu khẳng định về tính liên tục của hàm số. Lỗi này thường dẫn đến việc bị trừ điểm trình bày rất đáng tiếc trong các bài thi tự luận.