Giải bài 4.42 trang 103 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, AA'.

a) Xác định giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng B'C.

b) Gọi K là giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng B'C. Tính tỉ số 

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Xác định giao điểm K: Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MNP) và mặt phẳng chứa đường thẳng B'C, sau đó tìm giao điểm của giao tuyến đó với B'C.

2. Sử dụng định lý đường trung bình: Áp dụng định lý đường trung bình của tam giác và hình bình hành để tìm các mối quan hệ song song và tỉ lệ giữa các đoạn thẳng.

3. Áp dụng định lý Thalès: Sử dụng định lý Thalès để tính tỉ số KB'/KC.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh hoạ như sau:

a) Trong mặt phẳng (ABB'A'), gọi D là giao điểm của PM và BB'.

Vì D thuộc BB' nên D thuộc mặt phẳng (BCC'B'), N thuộc BC nên N thuộc mặt phẳng (BCC'B'), do đó trong mặt phẳng (BCC'B') nối D với N, đường thẳng DN cắt B'C tại K.

Vì D thuộc PM nên D thuộc mặt phẳng (MNP), do đó DN nằm trong mặt phẳng (MNP).

Mà K thuộc DN nên K thuộc mặt phẳng (MNP).

Do vậy, K là giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng B'C.

b) Xét ΔA'AB có P, M lần lượt là trung điểm của các cạnh AA', AB nên PM là đường trung bình của Δ A'AB,

⇒ PM // A'B hay PD // A'B.

Lại có A'P // BD (vì AA' // BB' do nó là các cạnh bên của hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C').

⇒ Tứ giác A'PDB là hình bình hành.

⇒ A'P = BD.

Mà P là trung điểm của AA' nên A'P = AA', suy ra BD = AA'.

Lại có AA' = BB' (do ABC.A'B'C' là hình lăng trụ tam giác).

Từ đó suy ra BD = BB' (*)

 (**)

Gọi E là trung điểm của B'C. Vì N là trung điểm của BC, do đó EN là đường trung bình của tam giác BB'C, ⇒ EN // BB' và EN = BB' (***).

Từ (*) và (***) ⇒ EN = BD (****).

Từ (**) và (****) ⇒ 

Xét tam giác KDB' có EN // B'D (vì EN // BB'), theo định lí Thalés ta có:

⇒ KE = KB' ⇒ KE = EB'.

Mà EB' = EC (do E là trung điểm của B'C).

⇒ KE = KB' 

⇒ K là trung điểm của EC. Khi đó KC = EC

Mà EC = B'C.

Từ đó suy ra KC = KB'.

Vậy