Hotline0936685849

Hàm số liên tục tại 1 điểm khi nào? Cách tính hàm số liên tục tại 1 điểm và Bài tập

21:46:22Cập nhật: 07/10/2023

Cách tính hàm số liên tục tại 1 điểm là một trong những dạng bài tập thường gặp trong nội dung Toán lớp 11.

Vậy hàm số liên tục tại 1 điểm khi nào? Cách tính hàm số liên tục tại 1 điểm như thế nào? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây để vận dụng giải bài tập hàm số liên tục tại 1 điểm.

1. Hàm số liên tục tại 1 điểm

- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x₀ ∈ (a;b). Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x₀ nếu:

$\small \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$

- Hàm số f(x₀) không liên tục tại điểm x₀ thì x₀ được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x).

* Ví dụ : Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số f(x)= x³+ 2x – 1 tại x₀= 3.

- Theo bài ra: f(x) = x³ + 2x – 1

- Tính f(x₀):

Ta có: f(x₀) = f(3) = 3³ + 2.3 – 1 = 32 (*)

- Tính $\small \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)$

Ta có: $\small \lim_{x\rightarrow 3}f(x)=\lim_{x\rightarrow 3}(x^3+2x-1)=3^3+2.3-1=32$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra: $\small \lim_{x\rightarrow 3}f(x)=f(3)$

⇒ f(x) liên tục tại x₀ = 3.

2. Cách tính hàm số liên tục tại 1 điểm

* Phương pháp:

- Bước 1: Tính f(x₀)

- Bước 2: Tính $\small \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)$ hoặc $\small \lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x);\: \lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)$

- Bước 3: So sánh: $\small \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)$ hoặc $\small \lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x);\: \lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)$ với $\small f(x_0)$ rồi rút ra kết luận

- Nếu $\small \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$ hoặc $\small \lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=f(x_0)$ thì kết luận hàm số liên tục tại

- Nếu $\small \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)$ không tồn tại hoặc $\small \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)\neq f(x_0)$ thì kết luận hàm số không liên tục tại x₀.

- Bước 4: Kết luận.

* Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số y = g(x) tại x₀ = 2, biết:

$\small \dpi{100} \small g(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x^3-8}{x-2},\: x\neq 2\\ 5,\: x=2 \end{matrix}\right.\$

- Ta có: g(x₀) = g(2) = 5.

$\small \lim_{x\rightarrow 2}g(x)= \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^3-8}{x-2}$ $\small = \lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2}$

$\small = \lim_{x\rightarrow 2}(x^2+2x+4)=2^2+2.2+4=12$

$\small \Rightarrow \lim_{x\rightarrow 2}g(x) \neq g(2)$

⇒ g(x) không liên tục tại x₀ = 2.

* Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x = 0.

$small f(x)=left{egin{matrix} frac{5x-sin3x}{x},x> 0 x^{2}-2x+2,xleq 0 end{matrix} ight.$

- Ta có: f(0) = 0² - 2.0 + 2 = 2.

$small lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x)=lim_{x ightarrow 0^{+}}frac{5x-sin3x}{x}$ $small =lim_{x ightarrow 0^{+}}left ( 5-3.frac{sin3x}{3x} ight )=5-3=2$

$small lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x)=lim_{x ightarrow 0^{-}}(x^{2}-2x+2)=2$

$small Rightarrow lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x)=lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x)=f(0)=2$

⇒ Vậy hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 0.

Hy vọng với bài viết Hàm số liên tục tại 1 điểm khi nào? Cách tính hàm số liên tục tại 1 điểm và Bài tập ở trên giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để hayhochoi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.