Cách giải phương trình lượng giác asinx+bcosx=c và Bài tập vận dụng - Toán 11 chuyên đề

21:18:39Cập nhật: 15/05/2026

Phương trình lượng giác dạng $asinx + bcosx = c$ (phương trình bậc nhất đối với $sinx$ và $cosx$ ) là một trong những dạng toán nền tảng và xuất hiện rất nhiều trong các bài kiểm tra, kì thi học kỳ Toán lớp 11.

Vậy cách giải phương trình lượng giác $asinx + bcosx = c$ như thế nào? Điều kiện để phương trình có nghiệm là gì? Hãy cùng Hay Học Hỏi tìm hiểu lý thuyết, phương pháp giải chi tiết qua bài viết dưới đây và áp dụng vào các bài tập minh họa từ cơ bản đến nâng cao nhé!

1. Phương Pháp Giải Phương Trình Lượng Giác $asinx + bcosx = c$

Cho phương trình lượng giác:

a\sin x + b\cos x = c \quad (1)

(Trong đó $a, b, c \in \mathbb{R}$ và $a^2 + b^2 \neq 0$ )

Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm:
Phương trình $a\sin x + b\cos x = c$ có nghiệm khi và chỉ khi: $a^2 + b^2 \geq c^2$ (hay $c^2 \leq a^2 + b^2$ ).

Để giải dạng phương trình này, học sinh có thể áp dụng một trong hai phương pháp phổ biến sau:

Cách 1: Chia cả hai vế cho $\sqrt{a^2+b^2}$ (Khuyên dùng)

Bước 1: Kiểm tra điều kiện có nghiệm $a^2 + b^2 \geq c^2$ . Nếu không thỏa mãn, kết luận phương trình vô nghiệm.

Bước 2: Chia cả hai vế của phương trình (1) cho $\sqrt{a^2 + b^2}$ , ta được:

\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}

Bước 3: Vì $\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2 + \left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2 = 1$ , nên ta luôn đặt được:

\cos\varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \quad \text{và} \quad \sin\varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}

Bước 4: Thay vào phương trình, ta đưa về phương trình lượng giác cơ bản:

\sin x\cos\varphi + \cos x\sin\varphi = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \Leftrightarrow \sin(x + \varphi) = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}

(Lưu ý: Bạn cũng có thể đặt $\sin\varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ và $\cos\varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ để đưa phương trình về dạng $\cos(x - \varphi) = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$ ).

Cách 2: Đặt $t = \tan\frac{x}{2}$

Bước 1: Xét $x = \pi + k2\pi \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi$ , khi đó $\tan\frac{x}{2}$ không xác định. Thay trực tiếp vào phương trình (1) xem có phải là nghiệm không.

Bước 2: Với $x \neq \pi + k2\pi$ , đặt $t = \tan\frac{x}{2}$ . Khi đó ta có công thức:

\sin x = \frac{2t}{1+t^2} \quad \text{và} \quad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}

Bước 3: Thay vào phương trình (1) để đưa về phương trình bậc hai đối với ẩn $t$ :

a\left(\frac{2t}{1+t^2}\right) + b\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right) = c \Leftrightarrow (b+c)t^2 - 2at + (c-b) = 0

Giải phương trình tìm $t$ , từ đó suy ra $x$ .

2. Công Thức Biến Đổi Nhanh Cần Nhớ

Để tăng tốc độ làm bài trắc nghiệm Toán 11, các em nên học thuộc lòng các hệ thức biến đổi nhanh sau:

$\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$
$\sin x - \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$
$\cos x - \sin x = \sqrt{2}\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$

Dạng tổng quát mở rộng: $a\sin[f(x)] + b\cos[f(x)] = c$ . Phương pháp giải hoàn toàn tương tự, chỉ cần thay $x$ bằng $f(x)$ .

3. Bài Tập Minh Họa Có Lời Giải Chi Tiết

Bài tập 1: Giải các phương trình sau:

a) $3\sin x + 4\cos x = 5$

b) $2\sin 2x - 2\cos 2x = \sqrt{2}$

c) $\sqrt{3}\sin 3x + \cos 3x = \sqrt{2}$

d) $\sin x - \sqrt{3}\cos x = 1$

Lời giải chi tiết:

a) $3\sin x + 4\cos x = 5$

Nhận thấy $\sqrt{3^{2}+4^{2}} = \sqrt{9+16} = 5$ . Khi đó, chia cả hai vế của phương trình cho $5$ , ta được:

3\sin x + 4\cos x = 5 \Leftrightarrow \frac{3}{5}\sin x + \frac{4}{5}\cos x = 1

Đặt $\cos\varphi = \frac{3}{5}$ và $\sin\varphi = \frac{4}{5}$ , phương trình trở thành:

\cos\varphi\cdot\sin x + \sin\varphi\cdot\cos x = 1

\Leftrightarrow \sin(x + \varphi) = 1

\Leftrightarrow x + \varphi = \frac{\pi}{2} + k2\pi

\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} - \varphi + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})

(Trong đó $\varphi = \arccos\frac{3}{5}$ ).

b) $2\sin 2x - 2\cos 2x = \sqrt{2}$

Chia cả hai vế của phương trình cho $2$ , ta được:

\Leftrightarrow \sin 2x - \cos 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}

Áp dụng công thức biến đổi nhanh $\sin 2x - \cos 2x = \sqrt{2}\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$ , phương trình tương đương:

\Leftrightarrow \sqrt{2}\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}

\Leftrightarrow \sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)

Trường hợp này dẫn đến hai hệ phương trình:

\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} 2x - \frac{\pi}{4} &= \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ 2x - \frac{\pi}{4} &= \pi - \frac{\pi}{6} + k2\pi \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} 2x &= \frac{5\pi}{12} + k2\pi \\ 2x &= \frac{13\pi}{12} + k2\pi \end{aligned}\right.

\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x &= \frac{5\pi}{24} + k\pi \\ x &= \frac{13\pi}{24} + k\pi \end{aligned}\right. \quad (k \in \mathbb{Z})

c) $\sqrt{3}\sin 3x + \cos 3x = \sqrt{2}$

Chia cả hai vế của phương trình cho $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2$ , ta được:

\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 3x + \frac{1}{2}\cos 3x = \frac{\sqrt{2}}{2}

\Leftrightarrow \sin 3x\cdot\cos\frac{\pi}{6} + \cos 3x\cdot\sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2}

\Leftrightarrow \sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\frac{\pi}{4}

\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} 3x + \frac{\pi}{6} &= \frac{\pi}{4} + k2\pi \\ 3x + \frac{\pi}{6} &= \pi - \frac{\pi}{4} + k2\pi \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} 3x &= \frac{\pi}{12} + k2\pi \\ 3x &= \frac{7\pi}{12} + k2\pi \end{aligned}\right.

\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x &= \frac{\pi}{36} + \frac{k2\pi}{3} \\ x &= \frac{7\pi}{36} + \frac{k2\pi}{3} \end{aligned}\right. \quad (k \in \mathbb{Z})

d) $\sin x - \sqrt{3}\cos x = 1$

Chia cả hai vế của phương trình cho $\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = 2$ , ta được:

\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = \frac{1}{2}

\Leftrightarrow \sin x\cdot\cos\frac{\pi}{3} - \cos x\cdot\sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}

\Leftrightarrow \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\frac{\pi}{6}

\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x - \frac{\pi}{3} &= \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ x - \frac{\pi}{3} &= \pi - \frac{\pi}{6} + k2\pi \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x &= \frac{\pi}{2} + k2\pi \\ x &= \frac{7\pi}{6} + k2\pi \end{aligned}\right. \quad (k \in \mathbb{Z})

\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x - \frac{\pi}{3} &= \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ x - \frac{\pi}{3} &= \pi - \frac{\pi}{6} + k2\pi \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x &= \frac{\pi}{2} + k2\pi \\ x &= \frac{7\pi}{6} + k2\pi \end{aligned}\right. \quad (k \in \mathbb{Z})

Hy vọng với bài viết Cách giải phương trình lượng giác $asinx + bcosx = c$ và hệ thống bài tập vận dụng đầy đủ trên đây của Hay Học Hỏi sẽ giúp các em tự tin chinh phục dạng toán này. Nếu có bất kỳ thắc mắc hay bài toán nào chưa giải được, hãy để lại bình luận ngay bên dưới bài viết để nhận được sự hỗ trợ từ tụi mình nhé. Chúc các em học tốt!

• Xem thêm:

Cách giải phương trình đối xứng với Sinx và Cosx (đầy đủ dễ hiểu nhất)