Hotline 0939 629 809

Cách giải phương trình lượng giác asinx+bcosx=c và Bài tập vận dụng - Toán 11 chuyên đề

09:34:3007/09/2022

Là một trong những phương trình lượng giác thường gặp, giải phương trình lượng giác dạng asinx+bcosx=c là nội dung quan trọng mà các em cần nắm vững trong nội dung toán lớp 11.

Vậy cách giải phương trình lượng giác asinx+bcosx=c như thế nào? Các em cùng hayhochoi tìm hiểu qua nội dung bài viết dưới đây và vận dụng vào giải một số bài tập minh hoạ để hiểu rõ hơn nhé.

• Phương pháp giải Phương trình lượng giác asinx+bcosx=c

Để giải phương trình lượng giác dạng asinx + bcosx = c chúng ta có thể sử dụng 1 trong 2 cách sau

* Cách giải 1: Chia hai vế phương trình cho $small sqrt{a^{2}+b^{2}}$ , ta được:

$small frac{a}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}sinx+frac{b}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}sinx = frac{c}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

- Nếu $small left | frac{b}{sqrt{a^{2}+b^{2}}} ight |> 1$ thì phương trình vô nghiệm

- Nếu $small left | frac{b}{sqrt{a^{2}+b^{2}}} ight |leq 1$ thì đặt $small cosvarphi = frac{a}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}Rightarrow sinvarphi = frac{b}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

(hoặc $small sinvarphi = frac{a}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}Rightarrow cosvarphi = frac{b}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ )

- Đưa PT về dạng: $small sin(x+varphi )= frac{c}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ (hoặc $small cos(x-varphi )= frac{c}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ ).

hayhochoi vn

* Cách giải 2: Sử dụng công thức sinx và cosx theo $small t=tanfrac{x}{2}$ ;

$small sinx=frac{2t}{1+t^{2}};cosx=frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$

- Đưa PT về dạng phương trình bậc 2 đối với t.

* Lưu ý: PT: asinx + bcosx = c, (a≠0,b≠0) có nghiệm khi c² ≤ a² + b².

• Dạng tổng quát của PT là: asin[f(x)] + bcos[f(x)] = c, (a≠0,b≠0).

• Bài tập giải Phương trình lượng giác asinx+bcosx=c

* Bài tập 1: Giải các phương trình sau:

a) small 3sinx + 4cosx = 5

b) $small dpi{100} fn_cm small 2sin2x - 2cos2x = sqrt{2}$

* Lời giải:

a) small 3sinx + 4cosx = 5

+ Ta có: $small sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$ khi đó:

small 3sinx + 4cosx = 5 $small Leftrightarrow frac{3}{5}sinx+frac{4}{5}cosx=1$

+ Đặt $small cosvarphi =frac{3}{5};sinvarphi =frac{4}{5},$ ta có:

cosφ.sinx + sinφ.cosx = 1.

small Leftrightarrow sin(x+varphi )=1

$small Leftrightarrow x+varphi =frac{pi }{2}+k2pi$

$small Leftrightarrow x =frac{pi }{2}-varphi+k2pi ,(kin mathbb{Z})$

b) $small dpi{100} fn_cm small 2sin2x - 2cos2x = sqrt{2}$

$small Leftrightarrow sin2x-cos2x=frac{sqrt{2}}{2}$

$small Leftrightarrow sqrt{2}sin(2x-frac{pi }{4})=frac{sqrt{2}}{2}$

$small Leftrightarrow sin(2x-frac{pi }{4})=frac{1}{2}=sinleft ( frac{pi }{6} ight )$

$small Leftrightarrow 2x-frac{pi }{4}=frac{pi }{6}+k2pi$ hoặc $small 2x-frac{pi }{4}=pi -frac{pi }{6}+k2pi$

$small Leftrightarrow x=frac{5pi }{24}+kpi$ hoặc $small Leftrightarrow x=frac{13pi }{24}+kpi,(kin mathbb{Z})$

* Lưu ý: Bài toán vận dụng công thức:

$small sinx+cosx=sqrt{2}sinleft ( x+frac{pi }{4} ight )=sqrt{2}cosleft ( x-frac{pi }{4} ight )$

$small sinx-cosx=sqrt{2}sinleft ( x-frac{pi }{4} ight )=-sqrt{2}cosleft ( x+frac{pi }{4} ight )$

* Bài tập 2: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cos2x - sin2x = 0

b) cosx - 3sinx = 4

c) sin2x + 3cos²x = 2

* Bài tập 3: Giải phương trình lượng giác sau:

$\small a)\: cos^2x-sin^2x-\sqrt{3}sin2x=1$

$\small b)\: sin2x+sin^2x=\frac{1}{2}$

$\small c)\: 4sin^2x+3\sqrt{3}sin2x-2cos^2x=4$

$\small d)\: sin^22x+sin4x-2cos^22x=\frac{1}{2}$

* Bài tập 4: Giải các phương trình lượng giác sau:

$\small a)\: sin8x-sin7x = \sqrt{3}cos8x-\sqrt{3}cos7x$

$\small b)\: \sqrt{2}(cos^4x-sin^4x)= sinx+cosx$

$\small c)\: 2cos2x-cosx+\sqrt{3}sinx=0$

Hy vọng với bài viết Cách giải phương trình lượng giác asinx+bcosx=c và Bài tập vận dụng Toán lớp 11 ở trên của Hay Học Hỏi giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để $\small hayhochoi.vn$ ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.

Cách giải phương trình lượng giác asinx+bcosx=c và Bài tập vận dụng - Toán 11 chuyên đề

Tags:

Đánh giá & nhận xét