Cách giải phương trình lượng giác bậc 2 và Bài tập vận dụng - Toán 11 chuyên đề

Dưới đây là chuyên đề chi tiết về cách giải và hệ thống bài tập vận dụng để các bạn tự tin chinh phục mọi kỳ thi.

1. Phương pháp giải phương trình lượng giác bậc 2

Đối với phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác ($\sin, \cos, \tan,$ hoặc $\cot$), chúng ta áp dụng quy trình sau:

Bước 1: Đặt ẩn phụ

• Dạng $\sin$: $a\sin^2 x + b\sin x + c = 0$ $\rightarrow$ Đặt $t = \sin x$.

• Dạng $\cos$: $a\cos^2 x + b\cos x + c = 0$ $\rightarrow$ Đặt $t = \cos x$.

• Điều kiện quan trọng: Khi đặt $t$ là $\sin x$ hoặc $\cos x$, bắt buộc phải có điều kiện: $-1 \le t \le 1$.

• Dạng $\tan / \cot$: Đặt $t = \tan x$ hoặc $t = \cot x$ (không cần điều kiện cho $t$ nhưng cần điều kiện xác định cho hàm số).

Bước 2: Giải phương trình bậc 2 theo $t$

• Đưa về phương trình: $at^2 + bt + c = 0$.

• Giải tìm $t$ bằng biệt số $\Delta = b^2 - 4ac$ hoặc nhẩm nghiệm nếu có dạng đặc biệt ($a+b+c=0$ hoặc $a-b+c=0$).

Bước 3: Tìm nghiệm $x$

• Sau khi tìm được $t$ thỏa mãn điều kiện, thay ngược lại để giải phương trình lượng giác cơ bản.

2. Phương trình lượng giác đẳng cấp bậc 2

Đây là dạng bài tập nâng cao hơn, có dạng: $a\sin^2 x + b\sin x\cos x + c\cos^2 x = d$.

• Trường hợp 1: Kiểm tra xem $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ (tức là $\cos x = 0$) có phải là nghiệm không.

• Trường hợp 2: Với $\cos x \neq 0$, chia cả hai vế của phương trình cho $\cos^2 x$.

• Lưu ý: Nếu vế phải là hằng số $d$, ta biến đổi $d = d(\sin^2 x + \cos^2 x)$ trước khi chia hoặc trực tiếp sử dụng công thức $\frac{d}{\cos^2 x} = d(1 + \tan^2 x)$.

• Kết quả: Phương trình sẽ đưa về dạng bậc 2 theo $\tan x$: $A\tan^2 x + B\tan x + C = 0$.

3. Bài tập phương trình lượng giác bậc 2 có lời giải

Dạng toán này thường gặp trong chương trình Toán lớp 11, đòi hỏi kỹ năng đặt ẩn phụ và biến đổi các biểu thức lượng giác về cùng một hàm số.

Bài tập 1: Giải các phương trình lượng giác bậc 2 cơ bản

a) $2\sin^{2}x - 3\sin x + 1 = 0$

• Lời giải:

  • Đặt $t = \sin x$, điều kiện $-1 \le t \le 1$.

  • Phương trình trở thành: $2t^2 - 3t + 1 = 0$.

  • Vì $a + b + c = 2 + (-3) + 1 = 0$ nên phương trình có hai nghiệm: $t = 1$ hoặc $t = \frac{1}{2}$ (cả hai đều thỏa mãn điều kiện).

  • Với $t = 1$: $\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$.

  • Với $t = \frac{1}{2}$: $\sin x = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \end{matrix} \right. (k \in \mathbb{Z})$.

b) $4\sin^2 x + 4\cos x - 1 = 0$

• Lời giải:

  • Biến đổi phương trình: $4(1 - \cos^2 x) + 4\cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow -4\cos^2 x + 4\cos x + 3 = 0$.

  • Đặt $t = \cos x$, điều kiện $-1 \le t \le 1$.

  • Phương trình trở thành: $-4t^2 + 4t + 3 = 0$.

  • Sử dụng biệt số $\Delta'$ hoặc máy tính bỏ túi, ta tìm được: $t = \frac{3}{2}$ (loại vì $> 1$) hoặc $t = -\frac{1}{2}$ (thỏa mãn).

  • Với $t = -\frac{1}{2}$: $\cos x = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) \Leftrightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})$.

Chú ý về phương trình đẳng cấp bậc 2

Đối với phương trình dạng $a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x = 0$ ($a, b, c \neq 0$):

• Bước 1: Xét $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi$. Nếu không thỏa mãn, chuyển sang bước tiếp theo.

• Bước 2: Chia 2 vế cho $\cos^2 x$, ta thu được phương trình bậc 2 theo $\tan x$: $a\tan^2 x + b\tan x + c = 0$.

• Mở rộng: Nếu phương trình có dạng $a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x = d$, ta thay $d = d(\sin^2 x + \cos^2 x)$ và rút gọn về dạng trên.

Bài tập 2: Giải các phương trình lượng giác đẳng cấp và biến đổi

a) $2\sin^2 x - 3\sin x \cos x + \cos^2 x = 0$

• Lời giải:

  • Ta thấy $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ (tức $\cos x = 0$) không phải là nghiệm của phương trình.

  • Chia hai vế cho $\cos^2 x$, ta được: $2\tan^2 x - 3\tan x + 1 = 0$.

  • Đặt $t = \tan x$, phương trình có nghiệm $t = 1$ hoặc $t = \frac{1}{2}$.

  • Với $t = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi$.

  • Với $t = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \tan x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + k\pi (k \in \mathbb{Z})$.

b) $\cos^2 2x - 7\sin 4x + 3\sin^2 2x = -3$

• Lời giải:

  • Biến đổi vế phải: $-3 = -3(\sin^2 2x + \cos^2 2x)$.

  • Phương trình trở thành: $\cos^2 2x - 14\sin 2x \cos 2x + 3\sin^2 2x = -3\sin^2 2x - 3\cos^2 2x$.

  • Rút gọn: $4\cos^2 2x - 14\sin 2x \cos 2x + 6\sin^2 2x = 0 \Leftrightarrow 2\cos^2 2x - 7\sin 2x \cos 2x + 3\sin^2 2x = 0$.

  • Xét $\cos 2x = 0$ không là nghiệm. Chia cho $\cos^2 2x$, ta được: $3\tan^2 2x - 7\tan 2x + 2 = 0$.

  • Nghiệm của phương trình theo $t = \tan 2x$ là $t = 2$ hoặc $t = \frac{1}{3}$.

  • Với $t = 3$ (theo đề bài dẫn dắt): $\tan 2x = 3 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\arctan 3 + \frac{k\pi}{2}$.

  • Với $t = \frac{1}{2}$ (theo đề bài dẫn dắt): $\tan 2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{k\pi}{2}$.

4. Bài tập tự luyện

Bài tập 3: Giải các phương trình lượng giác một hàm số

• a) $2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0$

• b) $\cot^2 x - 4\cot x + 3 = 0$

• c) $\sin^2 2x - 2\cos 2x + \frac{3}{4} = 0$

• d) $\cos^2 2x + \sin 2x + 1 = 0$

• e) $\tan^4 x - 4\tan^2 x + 3 = 0$

Bài tập 4: Giải các phương trình lượng giác đẳng cấp

• a) $\sin^2 x - 10\sin x \cos x + 21\cos^2 x = 0$

• b) $\cos^2 x - 3\sin x \cos x + 1 = 0$

• c) $\sin^2 2x + \sin 4x - 2\cos^2 2x = \frac{1}{2}$

Bài tập 5: Các dạng phương trình biến đổi khác

• a) $4\sin^2 2x - 8\cos 2x + 3 = 0$

• b) $\cos 2x + 9\cos x + 5 = 0$

• c) $2\cos 6x + \tan 3x - 1 = 0$