Các bước Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (đầy đủ, chi tiết) - Toán lớp 9 chuyên đề

Vậy làm sao để giải dạng toán này nhanh và chính xác nhất? Chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây.

I. Các bước giải toán bằng cách lập hệ phương trình

Để giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình, các em cần tuân thủ quy trình 3 bước cơ bản sau:

Bước 1: Lập hệ phương trình

• Chọn ẩn: Chọn các đại lượng chưa biết cần tìm (thường là 2 ẩn $x, y$) và đặt điều kiện thích hợp (đơn vị, khoảng giá trị, tập hợp số).

• Biểu diễn đại lượng: Dựa vào giả thiết, biểu diễn các đại lượng chưa biết khác thông qua các ẩn đã chọn và các đại lượng đã biết.

• Lập hệ: Thiết lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng để tạo thành một hệ phương trình.

Bước 2: Giải hệ phương trình

Sử dụng các phương pháp đã học như:

• Phương pháp thế.

• Phương pháp cộng đại số.

• Phương pháp đặt ẩn phụ (nếu cần).

Bước 3: Kiểm tra và kết luận

Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện ban đầu ở Bước 1. Loại bỏ các nghiệm không thỏa mãn và trả lời câu hỏi của bài toán.

II. Các ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ 1: Bài toán về số học

Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và số dư là 124.

Lời giải:

• Gọi số lớn là $x$, số nhỏ là $y$ ($x, y \in \mathbb{N}^*$; $x, y > 124$).

• Tổng hai số bằng 1006 nên ta có: $x + y = 1006$.

• Số lớn chia số nhỏ được thương là 2, dư 124 $\Rightarrow x = 2y + 124$.

• Ta có hệ phương trình:

  $$\begin{cases} x + y = 1006 \\ x - 2y = 124 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} 3y = 882 \\ x + y = 1006 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 712 \\ y = 294 \end{cases}$$

• Cả hai giá trị thỏa mãn điều kiện. Vậy hai số cần tìm là 712 và 294.

Ví dụ 2: Bài toán dân gian (Cam và Quýt)

Quýt, cam mười bảy quảtươi / Đem chia cho một trăm người cùng vui / Chia ba mỗi quả quýt rồi / Còn cam mỗi quả chia mười vừa xinh / Trăm người, trăm miếng ngọt lành / Quýt, cam mỗi loại tính rành là bao?

Lời giải:

• Gọi số cam là $x$, số quýt là $y$ ($x, y \in \mathbb{N}^*$; $x, y < 17$) 

• Tổng số quả là 17 nên: $x + y = 17$ (1).

• Số miếng cam là $10x$, số miếng quýt là $3y$. Tổng số miếng là 100 nên: $10x + 3y = 100$ (2).

• Từ (1) và (2) ta có hệ:

  $$\begin{cases} x + y = 17 \\ 10x + 3y = 100 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 7 \\ y = 10 \end{cases}$$

• Vậy có 7 quả cam và 10 quả quýt.

Ví dụ 3: Bài toán về chuyển động

Một ôtô đi từ A đến B. Nếu chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm 2 giờ. Nếu chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm 1 giờ. Tính quãng đường AB và thời điểm xuất phát.

Lời giải:

• Gọi $x$ (km) là quãng đường AB, $y$ (giờ) là thời gian dự định ($x > 0, y > 1$).

• Thời gian đi với v = 35 km/h là $x/35$. Ôtô đến chậm 2 giờ nên: $x/35 = y + 2 \Rightarrow x = 35y + 70$ (1).

• Thời gian đi với v = 50 km/h là $x/50$. Ôtô đến sớm 1 giờ nên: $x/50 = y - 1 \Rightarrow x = 50y - 50$ (2).

• Giải hệ phương trình từ (1) và (2), ta được $y = 8$ và $x = 350$.

• Vậy quãng đường AB là 350km. Thời điểm xuất phát là: 12 - 8 = 4 giờ sáng.

Ví dụ 4: Bài toán làm chung công việc (Vòi nước)

Hai vòi cùng chảy vào bể cạn thì sau $4\frac{4}{5}$ giờ đầy bể. Nếu mở vòi 1 trong 9 giờ, sau đó mở thêm vòi 2 chảy trong $1.2$ giờ nữa thì đầy bể. Hỏi vòi 2 chảy một mình bao lâu thì đầy?

Lời giải:

• Gọi năng suất vòi 1 là $x$, vòi 2 là $y$ (bể/giờ). ($0 < x, y < 1$).

• Hai vòi cùng chảy 4,8 giờ đầy bể: $4,8x + 4,8y = 1$ (1).

• Vòi 1 chảy 9 giờ và cả hai vòi chảy thêm 1,2 giờ: $9x + 1,2(x + y) = 1$ (2).

• Giải hệ ta được: $x = 1/12; y = 1/8$.

• Vậy vòi 2 chảy một mình đầy bể trong 8 giờ.

Ví dụ 5: Bài toán năng suất người thợ

Hai người thợ cùng làm trong 16 giờ xong việc. Nếu người 1 làm 3 giờ, người 2 làm 6 giờ thì hoàn thành 25% công việc. Tính thời gian mỗi người làm riêng.

Lời giải:

• Gọi thời gian làm riêng của người 1 là $x$, người 2 là $y$ ($x, y > 16$).

• Ta có hệ phương trình:

  $$\begin{cases} \frac{16}{x} + \frac{16}{y} = 1 \\ \frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4} \end{cases}$$

• Đặt $u = 1/x, v = 1/y$, giải hệ tìm được $u = 1/24, v = 1/48$.

• Vậy người 1 làm mất 24 giờ, người 2 làm mất 48 giờ.

III. Các dạng bài toán khác thường gặp

Ví dụ 6: Bài toán về diện tích luống rau

Nhà Lan tăng 8 luống rau, giảm 3 cây mỗi luống thì tổng số cây giảm 54. Nếu giảm 4 luống, tăng 2 cây mỗi luống thì tổng số cây tăng 32. Tính số cây ban đầu.

Lời giải:

• Gọi $x$ là số luống, $y$ là số cây mỗi luống ($x > 4, y > 3$).

• Hệ phương trình:

  $$\begin{cases} (x+8)(y-3) = xy - 54 \\ (x-4)(y+2) = xy + 32 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3x - 8y = 30 \\ x - 2y = 20 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 50 \\ y = 15 \end{cases}$$

• Tổng số cây: 50 . 15 = 750 cây.

Ví dụ 7: Bài toán về mua sắm (Ấn Độ)

9 quả thanh yên và 8 quả táo rừng giá 107 rupi. 7 quả thanh yên và 7 quả táo rừng giá 91 rupi. Tính giá mỗi quả.

Lời giải:

• Gọi giá mỗi quả lần lượt là $x, y$. Ta có hệ:

  $$\begin{cases} 9x + 8y = 107 \\ 7x + 7y = 91 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 3 \\ y = 10 \end{cases}$$

• Giá thanh yên: 3 rupi, giá táo rừng: 10 rupi.

Ví dụ 8: Bài toán thống kê (Bắn súng)

Điểm trung bình sau 100 lần bắn là 8,69. Tìm số lần bắn đạt điểm 8 ($x$) và điểm 6 ($y$).

Lời giải:

• Hệ phương trình:

  $$\begin{cases} x + y + 25 + 42 + 15 = 100 \\ \frac{10.25 + 9.42 + 8x + 7.15 + 6y}{100} = 8,69 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x + y = 18 \\ 8x + 6y = 136 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 14 \\ y = 4 \end{cases}$$

• Vậy có 14 lần 8 điểm và 4 lần 6 điểm.

Ví dụ 9: Bài toán chuyển động tròn

Hai vật chạy trên vòng tròn đường kính 20cm. Cùng chiều gặp nhau sau 20s. Ngược chiều gặp nhau sau 4s. Tính vận tốc.

Lời giải:

• Chu vi đường tròn: $C = 20\pi$ cm.

• Hệ phương trình:

  $$\begin{cases} 20x - 20y = 20\pi \\ 4x + 4y = 20\pi \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 3\pi \\ y = 2\pi \end{cases}$$

• Vận tốc: $3\pi$ cm/s và $2\pi$ cm/s.

IV. Bài tập vận dụng tự giải

Để rèn luyện kỹ năng, các em hãy thực hiện giải các bài tập sau:

Bài tập 1: 15 quả táo và 8 quả thanh long nặng 7,1kg. 5 quả táo nặng hơn 3 quả thanh long 100g. Tính khối lượng mỗi quả.

Bài tập 2: Công ty lắp 430 lốp cho 150 xe (gồm ô tô 4 bánh và mô tô 2 bánh). Tính số xe mỗi loại.

Bài tập 3: 600$cm^3$ nhôm và 1,5$dm^3$ sắt nặng 13,32kg. Khối lượng riêng nhôm nhỏ hơn sắt 5,1kg/$dm^3$. Tìm khối lượng riêng mỗi loại.

Bài tập 4: Tìm số có hai chữ số, biết tổng các chữ số bằng 9 và số viết ngược lại bằng 2/9 số ban đầu.

Bài tập 5: Hai người đi ngược chiều từ hai thành phố cách nhau 38km, gặp nhau sau 4 giờ. Người thứ nhất đi nhiều hơn người thứ hai 2km. Tính vận tốc mỗi người.

Bài tập 6: Ca nô xuôi dòng 3h, ngược dòng 4h được 380km. Xuôi dòng 1h, ngược dòng 30 phút được 85km. Tính vận tốc ca nô và dòng nước.