Các bước Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình - Toán lớp 9 chuyên đề

Vậy các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình ở lớp 9 ra sao? có bí quyết gì để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình được nhanh và chính xác? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết này nhé.

I. Các bước giải toán bằng cách lập hệ phương trình

• Tương tự như các bước giải toán bằng cách lập phương trình, các bước giải toán bằng cách lập hệ phương trình gồm 3 bước sau:

+ Bước 1: Lập hệ phương trình:

- Chọn ẩn (thường là các đại lượng cần tìm) và đặt điều kiện thích hợp cho chúng.

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết.

- Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

+ Bước 2: Giải hệ phương trình vừa lập (thường sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số).

+ Bước 3: Kiểm tra xem các nghiệm của hệ phương trình có thỏa mãn điều kiện đặt ra và kết luận.

* Ví dụ 1 (Bài 28 trang 22 SGK Toán 9 Tập 2): Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và số dư là 124.

* Lời giải:

- Gọi số lớn là x, số nhỏ là y (x, y ∈ N*); x,y > 124.

- Tổng hai số bằng 1006 nên ta có: x + y = 1006

- Số lớn chia số nhỏ được thương là 2, số dư là 124 (vì số bị chia = số chia. thương + số dư) nên ta có: x = 2y + 124.

⇒ Ta có hệ phương trình:

(lưu ý: các bước giải hệ có thể được viết ngắn gọn)

→ Vậy hai số tự nhiên phải tìm là 712 và 294.

* Ví dụ 2 (Bài 29 trang 22 SGK Toán 9 Tập 2): Giải bài toán cổ sau:

 Quýt, cam mười bảy quả tươi

Đem chia cho một trăm người cùng vui

 Chia ba mỗi quả quýt rồi

Còn cam mỗi quả chia mười vừa xinh

 Trăm người, trăm miếng ngọt lành

Quýt, cam mỗi loại tính rành là bao?

* Lời giải

- Gọi số cam là x, số quýt là y (x, y ∈ N* ; x < 17, y < 17).

- Quýt, cam 17 quả tươi ⇒ x + y = 17. (1)

- Mỗi quả quýt chia ba ⇒ Có 3y miếng quýt

- Chia mười mỗi quả cam ⇒ Có 10x miếng cam

- Tổng số miếng tròn 100 ⇒ 10x + 3y = 100. (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

→ Vậy có 7 quả cam và 10 quả quýt.

* Ví dụ 3 (Bài 30 trang 22 SGK Toán 9 Tập 2): Một ôtô đi từ A và dự định đến B lức 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự đinh. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B sớm 1 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của ôtô tại A.

* Lời giải:

 - Gọi x (km) là độ dài quãng đường AB, y (giờ) là thời gian dự định đi để đến B đúng lúc 12 giờ trưa.

- Điều kiện x > 0, y > 1 (do ôtô đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định).

+ Với v = 35km/h thì thời gian đi hết quãng đường AB là : t = x/35 (giờ)

Ô tô đến chậm hơn 2 giờ so với dự định ⇒ x/35 = y + 2 ⇔ x = 35y + 70. (1)

+ Với v = 50 km/h thì thời gian đi hết quãng đường AB là : t=x/50 (giờ)

Ô tô đến sớm hơn 1h so với dự định ⇒ x/50 = y - 1 ⇔ x = 50y – 50. (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 

- Ta thấy x,y thỏa mãn điều kiện nên quãng đường AB là 350km và thời điểm ô tô xuất phát là 12 – 8 = 4 (giờ). 

* Ví dụ 5 (Bài 32 trang 23 SGK Toán 9 Tập 2): Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì sau  giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau  giờ nữa mới đầy bể. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể?

* Lời giải:

- Gọi lượng nước vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy một mình trong 1 giờ lần lượt là x (bể) và y (bể). Điều kiện 0 < x, y < 1.

+ Cả hai vòi cùng chảy trong   đầy 1 bể nên ta có phương trình: 4,8x + 4,8y = 1. (1)

- Nếu mở vòi thứ nhất trong 9 giờ thì chảy được 9x (bể), sau mở thêm vòi thứ hai thì chảy thêm được: 1,2 (x + y) (bể). 

Khi đó bể đầy nên ta có phương trình: 9x + 1,2(x + y) = 1. (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

⇒ Một giờ vòi hai chảy một mình được 1/8 bể. Vậy nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau 8 giờ sẽ đầy bể.

* Ví dụ 6 (Bài 33 trang 24 SGK Toán 9 Tập 2): Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu?

* Lời giải:

- Gọi thời gian để người thứ nhất và người thứ hai một mình hoàn thành công việc lần lượt là x (giờ) và y (giờ). (Điều kiện x, y > 16).

⇒ Trong một giờ, người thứ nhất làm được 1/x (công việc); người thứ hai làm được 1/y (công việc).

- Cả hai người cùng làm sẽ hoàn thành công việc trong 16 giờ nên ta có phương trình 

+ Người thứ nhất làm trong 3 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ thì hoàn thành 25%=1/4 công việc nên ta có phương trình

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Đặt  thì hệ phương trình trên trở thành:

- Ta thấy x, y thỏa điều kiện nên nếu làm riêng, người thứ nhất hoàn thành công việc sau 24 giờ và người thứ hai hoàn thành công việc trong 48 giờ.

* Ví dụ 7 (Bài 34 trang 24 SGK Toán 9 Tập 2): Nhà Lan có một mảnh vườn trồng rau cải bắp. Vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng một số cây cải bắp. Lan tính rằng: Nếu tăng thêm 8 luống rau, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây thì số cây toàn vườn ít đi 54 cây. Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì số rau toàn vườn sẽ tăng thêm 32 cây. Hỏi vườn nhà Lan trồng bao nhiêu cây rau cải bắp?

* Lời giải:

- Gọi x là số luống rau, y là số cây mỗi luống. Điều kiện x > 4, y > 3; x,y ∈ N

- Số cây trong vườn là: x.y (cây)

+ Tăng 8 luống, mỗi luống ít hơn 3 cây thì số luống là x + 8, số cây mỗi luống là y – 3

⇒ Tổng số cây trong vườn là (x + 8)(y – 3) cây.

- Số cây trong vườn ít đi 54 cây nên ta có phương trình:

(x + 8)(y – 3) = xy – 54

⇔ xy -3x + 8y - 24 = xy – 54

⇔ xy -3x + 8y - xy = –54 + 24

⇔ -3x + 8y = –30

⇔ 3x – 8y = 30 (1)

+ Giảm 4 luống mỗi luống tăng thêm 2 cây thì số luống là x – 4 và số cây mỗi luống là y + 2.

⇒ Số cây trong vườn là: (x – 4)(y + 2) cây

Số cây trong vườn tăng thêm 32 cây nên ta có phương trình:

(x – 4)(y + 2) = xy + 32

⇔ xy – 4y + 2x – 8 = xy + 32

⇔ x – 2y = 20  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

- Ta thấy x, y thỏa điều kiện nên số rau cải bắp nhà Lan trồng là : 15.50 = 750 cây.

* Ví dụ 8 (Bài 35 trang 24 SGK Toán 9 Tập 2): (Bài toán cổ Ấn Độ) . Số tiền mua 9 quả thanh yên và 8 quả táo rừng thơm là 107 rupi. Số tiền mua 7 quả thanh yên và 7 quả táo rừng thơm là 91 rupi. Hỏi giá mỗi quả thanh yên và mỗi quả táo rừng thơm là bao nhiêu rupi?

* Lời giải:

- Gọi x (rupi) là giá tiền mỗi quả thanh yên.

- Gọi y (rupi) là giá tiền mỗi quả táo rừng thơm.

Điều kiện x > 0, y > 0.

- Mua 9 quả thanh yên và 8 quả táo rừng thơm hết 107 rupi

⇒ 9x + 8y = 107. (1)

- Mua 7 quả thanh yên và 7 quả táo rừng thơm là 91 rupi

⇒ 7x + 7y = 91 ⇔ x + y = 13. (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

→ Vậy giá mỗi quả thanh yên là 3 rupi và mỗi quả táo rừng thơm là 10 rupi.

* Ví dụ 9 (Bài 36 trang 24 SGK Toán 9 Tập 2): Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn là 8,69 điểm. Kết quả cụ thể được ghi trong bảng sau, trong đó có hai ô bị mờ không đọc được (đánh dấu *):

Em hãy tìm lại các số trong hai ô đó.

* Lời giải:

- Gọi số lần bắn đạt điểm 8 là x, số lần bắn đạt điểm 6 là y.

Điều kiện x, y ∈ N; x < 18, y < 18.

- Tổng số lần bắn là 100 nên ta có:

 25 + 42 + x + 15 + y = 100 ⇔ x + y = 18. (1)

Điểm trung bình là: 

- Điểm trung bình là 8,69 nên ta có phương trình:

 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

- Ta thấy x, y thỏa điều kiện nên số lần bắn đạt 8 điểm là 14 và số lần bắn đạt 6 điểm là 4.

* Ví dụ 10 (Bài 37 trang 24 SGK Toán 9 Tập 2): Hai vật chuyển động đều trên một con đường tròn đường kính 20cm , xuất phát cùng một lúc, từ cùng một điểm. Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây chúng lại gặp nhau. Nếu chuyển động ngược chiểu thì cứ sau 4 giây chúng lại gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi vật.

* Lời giải:

- Gọi vận tốc của hai vật lần lượt là x (cm/s) và y (cm/s)

Điều kiện x , y > 0.

- Chu vi vòng tròn là : 20.π (cm). (Chu vi đường tròn bán kính R là: P = 2πR= πd trong đó d là đường kính của đường tròn)

- Khi chuyển động cùng chiều, cứ 20 giây chúng lại gặp nhau, nghĩa là quãng đường 2 vật đi được trong 20 giây chênh lệch nhau đúng bằng 1 vòng tròn

⇒ Ta có phương trình: 20x – 20y = 20π ⇔ x - y = π.  (1)

- Khi chuyển động ngược chiều, cứ 4 giây chúng lại gặp nhau, nghĩa là tổng quãng đường hai vật đi được trong 4 giây là đúng 1 vòng tròn

⇒ Ta có phương trình: 4x + 4y = 20π  ⇔ x + y = 5π (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

→ Vậy vận tốc của hai vật là 3π cm/s, 2π cm/s.

* Ví dụ 11 (Bài 38 trang 24 SGK Toán 9 Tập 2): Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút. Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ 2 trong 12 phút thì chỉ được 2/15 bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu?

* Lời giải:

- Gọi x (phút), y (phút) lần lượt là thời gian vòi thứ nhất, vòi thứ hai chảy một mình để đầy bể. Điều kiện: x, y > 80.

- Trong 1 phút vòi thứ nhất chảy được 1/x bể; vòi thứ hai chảy được 1/y bể.

- Sau 1 giờ 20 phút = 80 phút, cả hai vòi cùng chảy thì đầy bể nên ta có phương trình:

- Mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ 2 trong 12 phút thì chỉ được 2/15 bể nước nên ta có phương trình:

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Đặt u = 1/x và v = 1/y thì hệ trên trở thành:

- Ta thấy x, y thỏa mãn điều kiện nên nếu chảy một mình, để đầy bể vòi thứ nhất chảy trong 120 phút (= 2 giờ) , vòi thứ hai 240 phút (= 4 giờ).

* Ví dụ 12 (Bài 39 trang 25 SGK Toán 9 Tập 2): Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 2,17 triệu đồng, kể cả thuế giá trị gia tăng (VAT) với mức 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đố với loại hàng thứ hai. Nếu thuế VAT ,là 9% đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng 2,18 triệu đồng. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng?

* Lời giải:

- Giả sử giá của loại hàng thứ nhất và thứ hai không tính VAT lần lượt là x, y. Điều kiện x, y > 0, triệu đồng; x < 2,17, y < 2,17.

- Nếu áp dụng mức thuế VAT 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đối với loại hàng thứ hai thì :

 + Giá mặt hàng thứ nhất tính cả thuế VAT là: x + 10%.x = x + 0,1x = 1,1x

 + Giá mặt hàng thứ hai tính cả thuế VAT là: y + 8%.y = y + 0,08y = 1,08y.

⇒ Số tiền người đó phải trả là 2,17 triệu đồng nên ta có phương trình: 1,1x + 1,08y = 2,17   (1)

- Nếu áp dụng mức thuế VAT 9% đối với cả hai loại hàng thì :

 + Giá mặt hàng thứ nhất tính cả thuế VAT là : x + 9%.x = x + 0,09x = 1,09x

 + Giá mặt hàng thứ hai tính cả thuế VAT là : y + 9%.y = y + 0,09y = 1,09y.

⇒ Số tiền người đó phải trả là 2,18 triệu đồng nên ta có phương trình:

1,09x + 1,09y = 2,18  ⇔ x+ y = 2   (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

→ Vậy nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả : 0,5 triệu cho loại thứ nhất và 1,5 triệu cho loại thứ hai.