Cách tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua - Toán 9 chuyên đề

Bài viết này sẽ hướng dẫn các em phương pháp giải chi tiết cùng các ví dụ minh họa dễ hiểu để chinh phục chuyên đề này một cách tự tin nhất.

I. Phương pháp chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua điểm cố định

Với mỗi giá trị của tham số $m$, ta có một đồ thị hàm số tương ứng. Khi $m$ thay đổi, đồ thị hàm số cũng thay đổi theo. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, sẽ có những điểm mà dù $m$ thay đổi thế nào, đồ thị vẫn luôn đi qua. Đó chính là điểm cố định.

Các bước thực hiện:

1. Bước 1: Gọi $M(x_0; y_0)$ là điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi $m$.

2. Bước 2: Thay tọa độ $(x_0; y_0)$ vào phương trình hàm số.

3. Bước 3: Đưa phương trình về dạng phương trình bậc nhất đối với ẩn $m$:

   $$A(x_0, y_0) \cdot m + B(x_0, y_0) = 0$$

4. Bước 4: Để phương trình nghiệm đúng với mọi $m$, ta áp dụng tính chất: $ax + b = 0, \forall x \Leftrightarrow a = 0$ và $b = 0$.

   Từ đó ta có hệ phương trình:

   $$\begin{cases} A(x_0, y_0) = 0 \\ B(x_0, y_0) = 0 \end{cases}$$

5. Bước 5: Giải hệ phương trình để tìm $x_0$ và $y_0$. Kết luận tọa độ điểm cố định.

II. Bài tập và ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ 1

Đề bài: Chứng minh đường thẳng có phương trình $y = 3(m + 1)x - 3m - 2$ luôn đi qua một điểm cố định với mọi $m$.

Lời giải:

Giả sử đường thẳng luôn đi qua điểm cố định $M(x_0; y_0)$ với mọi $m$. Ta có:

Để phương trình đúng với mọi $m$, điều kiện là:

Kết luận: Vậy đồ thị hàm số luôn đi qua điểm cố định $M(1; 1)$ với mọi $m$.

Ví dụ 2

Đề bài: Chứng tỏ rằng với mọi $m$, họ các đường thẳng $(d): y = (m + 1)x + 2x - m$ luôn đi qua một điểm cố định.

Lời giải:

Giả sử $M(x_0; y_0)$ là điểm cố định mà đường thẳng $(d)$ luôn đi qua. Ta có:

Phương trình trên nghiệm đúng với mọi $m$ khi:

Kết luận: Vậy họ các đường thẳng $(d)$ luôn đi qua điểm cố định $M(1; 3)$.

Ví dụ 3

Đề bài: Chứng minh đường thẳng $(m + 2)x + (m - 3)y - m + 8 = 0$ luôn đi qua một điểm cố định.

Lời giải:

Giả sử đồ thị hàm số luôn đi qua điểm $M(x_0; y_0)$ với mọi $m$:

Điều này xảy ra khi và chỉ khi:

Kết luận: Vậy đường thẳng trên luôn đi qua điểm cố định $M(-1; 2)$ với mọi giá trị của $m$.