Cách tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua - Toán 9 chuyên đề

Bài viết này HayHocHoi sẽ giúp các em biết cách tìm điểm cố định mà hàm số luôn đi qua, cùng các ví dụ minh họa để các em hiểu rõ hơn.

° Cách chứng minh đồ thì hàm số luôn đi qua điểm cố định với mọi m

Với một giá trị của tham số m ta được một đồ thị hàm số (y_m) tương ứng. Như vậy khi m thay đổi thì đồ thị hàm số (y_m) cũng thay đổi theo hai trường hợp:

- Hoặc mọi điểm của (y_m) đều di động

- Hoặc có một vài điểm của (y_m) đứng yên khi m thay đổi

+ Những điểm đứng yên khi m thay đổi gọi là điểm cố định của đồ thị hàm số (y_m). Đó là những điểm mà đồ thị hàm số đều đi qua với mọi giá trị của m

+ Phương trình ax + b = 0 nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi a = 0 và b = 0

° Bài tập và ví dụ minh họa về tìm điểm cố định mà hàm số luôn đi qua

* Ví dụ 1: Chứng minh đường thẳng có phương trình y = 3(m + 1)x - 3m - 2, luôn đi qua 1 điểm cố định.

* Lời giải:

- Giả sử đồ thị hàm số đi qua điểm M(x_o;y_o) với mọi m

 Ta có: y_o = 3(m + 1)x_o - 3m - 2

⇔ y_o = 3x_om + 3x_o - 3m - 2

⇔ (3x_o -3)m = y_o - 3x_o + 2

⇔ 3x_o - 3 = 0 và y_o - 3x_o + 2 = 0

⇔ x_o = 1; y_o = 1

kết luận: (HayHocHoi.Vn) Vậy đồ thị hàm số y = 3(m + 1)x - 3m - 2 luôn đi qua điểm M(1;1) với mọi m.

* Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng với mọi m họ các đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x - m luôn đi qua một điểm cố định.

* Lời giải:

- Giả sử điểm M(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Khi đó ta có:

⇔ y₀ = (m + 1)x₀ + 2x₀ - m, với mọi m

⇔ y₀ = mx₀ + x₀ + 2x₀ - m, với mọi m

⇔ y₀ - mx₀ - 3x₀ + m = 0, với mọi m

⇔ m(-x₀ + 1) + (y₀ - 3x₀) = 0, với mọi m

⇔ -x₀ + 1 = 0 và y₀ - 3x₀ = 0

⇔ x₀ = 1 và y₀ = 3

kết luận: (HayHocHoi.Vn) Vậy họ các đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x - m luôn đi qua một điểm có định M có tọa độ M(1; 3).

* Ví dụ 3: Chứng minh đường thẳng có phương trình (m + 2)x + (m-3)y - m + 8 = 0, luôn đi qua 1 điểm cố định.

* Lời giải:

- Giả sử đồ thị hàm số đi qua điểm M(x_o;y_o) với mọi m

Ta có: (m + 2)x_o + (m - 3)y_o - m + 8 = 0

⇔ mx_o + 2x_o + my_o - m + 8 = 0

⇔ m(x_o + y_o - 1) + 2x_o - 3y_o + 8 = 0

⇔ x_o + y_o - 1 = 0 và -2x_o + 3y_o - 8 = 0

⇔ x_o = -1 và y_o = 2

kết luận: (HayHocHoi.Vn) Vậy đường thẳng (m + 2)x + (m-3)y - m + 8 = 0 luôn đi qua điểm M(1;1) với mọi m.