Cách chứng minh 5 điểm cùng thuộc một đường tròn Toán lớp 9 chuyên đề

Vậy làm thế nào để giải quyết dạng toán này một cách logic nhất? Có bao nhiêu cách để chứng minh? Hãy cùng HayHocHoi tìm hiểu chi tiết qua bài viết dưới đây.

I. Phương pháp chứng minh 5 điểm cùng thuộc một đường tròn

Để chứng minh nhiều điểm (từ 5 điểm trở lên) cùng nằm trên một đường tròn, các em có thể áp dụng hai phương pháp chủ đạo sau:

• Cách 1: Sử dụng định nghĩa. Chứng minh các điểm này cùng cách đều một điểm $O$ cố định. Khi đó, các điểm đã cho cùng thuộc đường tròn tâm $O$ và bán kính là khoảng cách đó.

• Cách 2: Sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp. Để chứng minh 5 điểm $A, B, C, D, E$ cùng thuộc một đường tròn, ta chứng minh hai tứ giác (ví dụ $ABCD$ và $ABCE$) cùng nội tiếp một đường tròn tâm $O$.

II. Ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ 1: Chứng minh dựa trên hình chữ nhật

Đề bài: Cho hình chữ nhật $ABCD$, vẽ tam giác $AEC$ vuông tại $E$. Chứng minh 5 điểm $A, B, C, D, E$ cùng thuộc một đường tròn.

Lời giải:

Ta có hình minh họa như sau:

Gọi $O$ là trung điểm của $AC$.

• Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $\triangle ABC$ vuông tại $B \Rightarrow 3$ điểm $A, B, C$ thuộc đường tròn tâm $O$, đường kính $AC$.

• Tương tự, $\triangle ADC$ vuông tại $D \Rightarrow 3$ điểm $A, C, D$ thuộc đường tròn tâm $O$, đường kính $AC$.

• Theo giả thiết, $\triangle AEC$ vuông tại $E \Rightarrow 3$ điểm $A, C, E$ thuộc đường tròn tâm $O$, đường kính $AC$.

  Kết luận: 5 điểm $A, B, C, D, E$ cùng thuộc đường tròn tâm $O$, đường kính $AC$.

Ví dụ 2: Chứng minh qua các tam giác vuông chung cạnh huyền

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Từ $M$ là điểm bất kì trên cạnh $BC$ kẻ $MD \perp AB$ và $ME \perp AC$. Chứng minh 5 điểm $A, D, M, H, E$ cùng thuộc một đường tròn.

Lời giải:

- Theo bài ra, có có hình sau:

Xét các tam giác vuông sau:

• $\triangle ADM$ vuông tại $D$ có cạnh huyền $AM$.

• $\triangle AEM$ vuông tại $E$ có cạnh huyền $AM$.

• $\triangle AHM$ vuông tại $H$ có cạnh huyền $AM$.

  Cả ba tam giác vuông này đều có chung cạnh huyền $AM$, nên đỉnh góc vuông của chúng ($D, E, H$) đều nằm trên đường tròn đường kính $AM$.

  Kết luận: 5 điểm $A, D, M, H, E$ cùng nằm trên đường tròn tâm là trung điểm của $AM$.

Ví dụ 3: Chứng minh qua tính chất đối xứng

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, gọi $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua cạnh $BC$. Chứng minh 4 điểm $A, B, C, D$ cùng thuộc một đường tròn.

* Lời giải:

- Ta có hình vẽ như sau:

Vì $D$ đối xứng với $A$ qua $BC$ nên $\triangle BDC = \triangle BAC$ (tính chất đối xứng trục).

Suy ra $\widehat{BDC} = \widehat{BAC} = 90^\circ$.

Xét hai tam giác vuông $BAC$ và $BDC$ có chung cạnh huyền $BC$, nên hai đỉnh $A$ và $D$ nằm trên đường tròn đường kính $BC$.

Kết luận: 4 điểm $A, B, C, D$ cùng nằm trên đường tròn tâm là trung điểm của $BC$.

Ví dụ 4: Bài toán tổng hợp 5 điểm

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Trên $AC$ lấy điểm $D$. Hình chiếu của $D$ lên $BC$ là $E$, điểm đối xứng của $E$ qua $BD$ là $F$. Chứng minh 5 điểm $A, B, E, D, F$ cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm $O$.

Lời giải:

- Ta có hình vẽ như sau:

• Theo giả thiết $DE \perp BC \Rightarrow \widehat{BED} = 90^\circ$.

• Vì $E$ và $F$ đối xứng qua $BD$ nên $BD$ là trung trực $EF \Rightarrow BF = BE$ và $DF = DE$. Suy ra $\triangle BFD = \triangle BED$ (c-c-c) $\Rightarrow \widehat{BFD} = \widehat{BED} = 90^\circ$.

• Gọi $O$ là trung điểm của $BD$.

  1. Trong $\triangle ABD$ vuông tại $A$, trung tuyến $AO = \frac{1}{2}BD$.

  2. Trong $\triangle BDE$ vuông tại $E$, trung tuyến $EO = \frac{1}{2}BD$.

  3. Trong $\triangle BFD$ vuông tại $F$, trung tuyến $FO = \frac{1}{2}BD$.

      

     Kết luận: Ta có $OA = OB = OD = OE = OF$, vậy 5 điểm $A, B, E, D, F$ cùng thuộc đường tròn tâm $O$ (trung điểm của $BD$).

Ví dụ 5: Chứng minh qua hình thang cân

Đề bài: Cho hình thang cân $ABCD$ ($AD // BC$) có $AB = 12\text{ cm}, AC = 16\text{ cm}, BC = 20\text{ cm}$. Chứng minh 4 điểm $A, B, C, D$ cùng thuộc một đường tròn và tính bán kính.

Lời giải:

- Ta có hình minh họa như sau:

• Trong $\triangle ABC$, ta có: $AB^2 + AC^2 = 12^2 + 16^2 = 400 = 20^2 = BC^2$. Theo định lý Pytago đảo, $\triangle ABC$ vuông tại $A \Rightarrow A$ thuộc đường tròn đường kính $BC$.

• Vì $ABCD$ là hình thang cân nên $CD = AB = 12\text{ cm}$ và $BD = AC = 16\text{ cm}$. Tương tự, $BD^2 + CD^2 = 16^2 + 12^2 = BC^2 \Rightarrow \triangle BCD$ vuông tại $D \Rightarrow D$ thuộc đường tròn đường kính $BC$.

  Kết luận: 4 điểm $A, B, C, D$ cùng thuộc đường tròn tâm $O$ (trung điểm $BC$) với bán kính $R = \frac{BC}{2} = 10\text{ cm}$.