Lý Thuyết Toán 6 Bài 11: Ước Chung & Ước Chung Lớn Nhất (Kết Nối Tri Thức)

1. Ước chung và ước chung lớn nhất

• Ước chung (ƯC): của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.

• Ước chung lớn nhất (ƯCLN): của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.

• Ký hiệu:

  • ƯC(a, b): Tập hợp các ước chung của $a$ và $b$.

  • ƯCLN(a, b): Ước chung lớn nhất của $a$ và $b$.

Ví dụ 1:

a) Tìm ước chung của 24 và 30.

b) Tìm ƯCLN(24, 30).

Lời giải:

a) Ư(24) = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24\}.

Ư(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}.

ƯC(24, 30) = {1; 2; 3; 6}.

b) Số lớn nhất trong tập hợp ước chung là 6. ƯCLN(24, 30) = 6

Nhận xét quan trọng:

• Nếu số nhỏ nhất trong các số đã cho là ước của các số còn lại, thì ƯCLN của các số đó chính là số nhỏ nhất ấy.

  Ví dụ: , nên ƯCLN(180, 18) = 18.

• ƯCLN(a, 1) = 1 với mọi số tự nhiên $a$.

2. Cách tìm ước chung lớn nhất

Các bước tìm ƯCLN của hai hay nhiều số lớn hơn 1:

• Bước 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố.

• Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

• Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất. Tích đó là ƯCLN cần tìm.

Ví dụ 2: Tìm ƯCLN(140, 168).

Lời giải:

• Phân tích ra thừa số nguyên tố: .

• Thừa số nguyên tố chung là 2 và 7.

• Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2, của 7 là 1.

• .

3. Ứng dụng để rút gọn phân số

• Ta có thể rút gọn một phân số bằng cách chia cả tử và mẫu cho ƯCLN của chúng.

• Phân số $\frac{a}{b}$ được gọi là phân số tối giản nếu ƯCLN(a, b) = 1.

Ví dụ 3: Rút gọn phân số 4612​ về phân số tối giản. Lời giải:

• ƯCLN(12, 46) = 2

• Chia cả tử và mẫu cho 2, ta được: .

Bài tập ứng dụng

Bài tập 1: Cho hai số $a=132$, $b=36$.

a) Phân tích $a$ và $b$ ra thừa số nguyên tố.

b) Tìm ƯCLN(a, b) và ƯC(a, b).

Lời giải:

a) ;

.

b) .

.

Bài tập 2: Rút gọn các phân số sau đến phân số tối giản:

, , , .

Lời giải:

a) Vì ƯCLN(150,50)=50.

Nên ta có:

b) vì ƯCLN(90, 27) = 9

Nên .

c) ƯCLN(34, 255) = 17.

Nên .

d) ƯCLN(88, 121) = 11

.