Tim điều kiện m để giá trị của biểu thức nghiệm đạt Giá trị lớn nhất, Giá trị nhỏ nhất - Toán 9 chuyên đề

21:34:1627/06/2021

HayHocHoi đã chia sẻ với các em bài viết về Cách tìm Giá trị lớn nhất và Giá trị nhỏ nhất của biểu thức cũng như bài viết về Hệ thức Vi-et và ứng dụng giải các bài toán liên quan.

Ở bài viết này, Hay-Hoc-Hoi.Vn sẽ giới thiệu một dạng toán kết hợp giữa Hệ thức nghiệm Vi-ét và Giá trị lớn nhất, Giá trị nhỏ nhất, đó là: Tìm giá trị m để biểu thức nghiệm đạt giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN).

I. Một số ví dụ tìm m để biểu thức đạt GTLN, GTNN

Để giải bài toán tìm giá trị của m m để biểu thức nghiệm đạt giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất ta vận dụng tính chất sau về bất đẳng thức:

• Trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân tích được:

$\small T = \left \[ \begin{matrix} X+a \\ b-Y \end{matrix} \right.$ (trong đó X, Y là các biểu thức không âm; a, b là hằng số) (*)

- Thì ta thấy:

T≥a (vì X≥0) ⇒ minT = a ⇔ X = 0.

T≤b (vì Y≥0) ⇒ maxT = b ⇔ Y = 0.

* Ví dụ 1: Cho phương trình: x² + (2m - 1)x - m = 0

Gọi x₁, x₂ là các nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức T = x₁² + x₂² - 6x₁x₂ đạt giá trị nhỏ nhất.

* Lời giải:

- Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x₁ + x₂ = -b/a = -(2m - 1) và x₁.x₂= c/a = -m

- Theo bài ra, ta có:

T = x₁² + x₂² - 6x₁x₂

= x₁² + 2x₁x₂ + x₂² - 8x₁x₂

= (x₁ + x₂)² - 8x₁x₂

= (2m - 1)² + 8m

= 4m² - 4m + 1 + 8m

= 4m² + 4m + 1

= (2m + 1)²≥0

Suy ra: minT = 0 ⇔ 2m + 1 = 0 ⇔ m = -1/2.

* Ví dụ 2: Cho phương trình x² - mx + m - 1 = 0

Gọi x₁, x₂ là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

$\small T=\frac{2x_1x_2+3}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2(x_1x_2+1)}$

> Lời giải:

- Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x₁ + x₂ = m và x₁x₂ = m - 1.

$\small \Rightarrow T=\frac{2x_1x_2+3}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2(x_1x_2+1)} =\frac{2x_1x_2+3}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2x_1x_2+2}$

$\small =\frac{2x_1x_2+3}{(x_1+x_2)^2+2}=\frac{2(m-1)+3}{m^2+2}=\frac{2m+1}{m^2+2}$

+ Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như hướng dẫn ở đầu bài viết. Ta biến đổi T như sau:

$\small T=\frac{m^2+2-(m^2-2m+1)}{m^2+2}=1-\frac{(m-1)^2}{m^2+2}$

$\small V\grave{i}\: (m-1)^2\geq 0\Rightarrow \frac{(m-1)^2}{m^2+2}\geq 0\Rightarrow T\leq 1$

Vậy maxT = 1 ⇔ m - 1 = 0 ⇔ m = 1.

Với cách thêm bớt khác ta có:

$\small T=\frac{\frac{1}{2}m^2+2m+1-\frac{1}{2}m^2}{m^2+2}$ $\small =\frac{\frac{1}{2}(m^2+4m+4)-\frac{1}{2}(m^2+2)}{m^2+2}$

$\small =\frac{(m+2)^2}{2(m^2+2)}-\frac{1}{2}$

$\small V\grave{i}\: (m+2)^2\geq 0\Rightarrow \frac{(m+2)^2}{2(m^2+2)}\geq 0\Rightarrow T\geq -\frac{1}{2}$

Vậy minT = -1/2 ⇔ m + 2 = 0 ⇔ m = -2.

+ Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và T là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số T để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

$\small T=\frac{2m+1}{m^2+2}\Leftrightarrow Tm^2-2m+2T-1=0$ (**)

Ta có: $\small \Delta _m=1-T(2T-1)=1-2T^2+T$

Để phương trình (**) luôn có nghiệm với mọi m thì Δ≥0, hay:

$\small -2T^2+T+1\geq 0\Leftrightarrow 2T^2-T-1\leq 0$

$\small \Leftrightarrow (2T+1)(T-1)\leq 0$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} 2T+1\leq 0\\ T-1\geq 0 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} 2T+1\geq 0\\ T-1\leq 0 \end{matrix}\right. \end{matrix} \right.$ $\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} T\leq -\frac{1}{2}\\ T\geq 1 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} T\geq -\frac{1}{2}\\ T\leq 1 \end{matrix}\right. \end{matrix} \right.$ $\small \Leftrightarrow -\frac{1}{2}\leq T\leq 1$

Vậy maxT = 1 ⇔ m = 1; minT = -1/2 ⇔ m = -2.

II. Bài tập vận dụng

* Bài tập 1: Cho phương trình: x² + (4m + 1)x + 2(m - 4) .Tìm m để biểu thức A = (x₁ - x₂)² có giá trị nhỏ nhất.

* Bài tập 2: Cho phương trình x² - 2(m - 1)x - 3 - m = 0. Tìm m sao cho nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn điều kiện x₁² + x₂² ≥ 10.

* Bài tập 3: Cho phương trình: x² - 2(m - 4)x + m² - 8 = 0 xác định m để phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn:

a) A = x₁ + x₂ - 3x₁x₂ đạt giá trị lớn nhất

b) B = x₁² + x₂² - x₁x₂ đạt giá trị nhỏ nhất

* Bài tập 4: Cho phương trình: x² - (m + 1)x - m² + m - 2 = 0. Với giá trị nào của m, biểu thức C = x₁² + x₂² đạt giá trị nhỏ nhất.

* Bài tập 5: Cho phương trình x² + (m + 1)x + m = 0 . Xác định m để biểu thức E = x₁² + x₂² đạt giá trị nhỏ nhất.

Như vậy, với bài viết về tìm điều kiện m để giá trị của biểu thức nghiệm đạt Giá trị lớn nhất, Giá trị nhỏ nhất, $\small hayhochoi.vn$ hy vọng giúp ích cho các em. Đây cũng là dạng toán hay xuất hiện trong đề thi tuyển sinh lớp 10, vì vậy các em hãy ôn tập thật tốt nhé.

Tim điều kiện m để giá trị của biểu thức nghiệm đạt Giá trị lớn nhất, Giá trị nhỏ nhất - Toán 9 chuyên đề

Tags:

Đánh giá & nhận xét