Tim điều kiện m để giá trị của biểu thức nghiệm đạt Giá trị lớn nhất, Giá trị nhỏ nhất - Toán 9 chuyên đề

Để giải quyết tốt dạng toán này, các em cần nắm vững cách biến đổi biểu thức nghiệm và vận dụng linh hoạt các bất đẳng thức cơ bản. Bài viết dưới đây của Hay-Hoc-Hoi.Vn sẽ hướng dẫn chi tiết phương pháp giải và các ví dụ minh họa cụ thể.

I. Phương pháp tìm m để biểu thức đạt GTLN, GTNN

Để tìm giá trị của tham số $m$ sao cho một biểu thức nghiệm $T$ đạt GTLN hoặc GTNN, chúng ta thường sử dụng phương pháp biến đổi biểu thức về dạng bình phương cộng (hoặc trừ) một hằng số.

Nguyên tắc chung:

Phân tích biểu thức $T$ về dạng:

Trong đó $A$ là biểu thức chứa $m$, và $k$ là hằng số.

• Trường hợp 1: Nếu $T = A^2 + k$. Vì $A^2 \ge 0$ nên $T \ge k$.

  • Suy ra: GTNN (min $T$) = $k$ khi $A = 0$.

• Trường hợp 2: Nếu $T = k - A^2$. Vì $A^2 \ge 0$ nên $T \le k$.

  • Suy ra: GTLN (max $T$) = $k$ khi $A = 0$.

II. Một số ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ 1: Tìm m để biểu thức đạt GTNN bằng phương pháp bình phương

Đề bài: Cho phương trình: $x^2 + (2m - 1)x - m = 0$. Gọi $x_1, x_2$ là các nghiệm của phương trình. Tìm $m$ để biểu thức $T = x_1^2 + x_2^2 - 6x_1x_2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

1. Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

   • $x_1 + x_2 = -(2m - 1)$

   • $x_1x_2 = -m$

2. Biến đổi biểu thức $T$:

   • $T = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 - 6x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 8x_1x_2$

   • Thay $m$ vào: $T = [-(2m - 1)]^2 - 8(-m) = 4m^2 - 4m + 1 + 8m$

   • $T = 4m^2 + 4m + 1 = (2m + 1)^2$

3. Đánh giá:

   • Vì $(2m + 1)^2 \ge 0$ với mọi $m$.

   • Suy ra: min $T = 0$ khi $2m + 1 = 0$, tương đương $m = -1/2$.

Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN bằng phương pháp thêm bớt hoặc chặn miền giá trị

Đề bài: Cho phương trình $x^2 - mx + m - 1 = 0$. Gọi $x_1, x_2$ là các nghiệm. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức:

Lời giải:

Theo Vi-ét ta có: $x_1 + x_2 = m$ và $x_1x_2 = m - 1$.

Rút gọn mẫu số: $x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_2 + 2 = (x_1 + x_2)^2 + 2$.

Biểu thức trở thành: $T = \frac{2(m - 1) + 3}{m^2 + 2} = \frac{2m + 1}{m^2 + 2}$.

Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng bình phương

• Tìm GTLN:

  $T = \frac{m^2 + 2 - (m^2 - 2m + 1)}{m^2 + 2} = 1 - \frac{(m - 1)^2}{m^2 + 2} \le 1$

  Vậy max $T = 1$ khi $m = 1$.

• Tìm GTNN:

  $T = \frac{\frac{1}{2}(m^2 + 4m + 4) - \frac{1}{2}(m^2 + 2)}{m^2 + 2} = \frac{(m + 2)^2}{2(m^2 + 2)} - \frac{1}{2} \ge -1/2$

  Vậy min $T = -1/2$ khi $m = -2$.

Cách 2: Phương pháp miền giá trị (Delta)

$T = \frac{2m + 1}{m^2 + 2} \Rightarrow T \cdot m^2 - 2m + 2T - 1 = 0$ (Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn $m$).

Để tồn tại $m$, phương trình phải có nghiệm, tức là $\Delta' \ge 0$:

$1^2 - T(2T - 1) \ge 0 \Rightarrow -2T^2 + T + 1 \ge 0 \Rightarrow -1/2 \le T \le 1$.

Vậy max $T = 1$ và min $T = -1/2$.

III. Bài tập vận dụng chuyên đề

Để thành thạo dạng toán này, các em hãy tự luyện tập qua các bài tập sau:

• Bài tập 1: Cho phương trình $x^2 + (4m + 1)x + 2(m - 4) = 0$. Tìm $m$ để biểu thức $A = (x_1 - x_2)^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

• Bài tập 2: Cho phương trình $x^2 - 2(m - 1)x - 3 - m = 0$. Tìm $m$ sao cho $x_1^2 + x_2^2 \ge 10$.

• Bài tập 3: Cho phương trình $x^2 - 2(m - 4)x + m^2 - 8 = 0$. Xác định $m$ để:

  • a) $A = x_1 + x_2 - 3x_1x_2$ đạt giá trị lớn nhất.

  • b) $B = x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

• Bài tập 4: Cho phương trình $x^2 - (m + 1)x - m^2 + m - 2 = 0$. Tìm $m$ để $C = x_1^2 + x_2^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

• Bài tập 5: Cho phương trình $x^2 + (m + 1)x + m = 0$. Xác định $m$ để biểu thức $E = x_1^2 + x_2^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.