Cách giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn với phương pháp thế và phương pháp cộng đại số - Toán lớp 9

I. Tổng quan về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Phương trình bậc nhất 2 ẩn

Định nghĩa: Là phương trình có dạng: ax + by = c với a, b, c ∈ R (a² + b² ≠ 0)

Tập nghiệm: Phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

• Nếu a ≠ 0, b ≠ 0 thì đường thẳng (d) là đồ thị hàm số :
• Nếu a ≠ 0, b = 0 thì phương trình trở thành ax = c hay x = c/a và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục tung
• Nếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình trở thành by = c hay y = c/b và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục hoành

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

+ Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn:  , trong đó a, b, c, a’, b’, c’ ∈ R

+ Minh họa tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

- Gọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, khi đó ta có:

• (d) // (d’) thì hệ vô nghiệm
• (d) cắt (d’) thì hệ có nghiệm duy nhất
• (d) ≡ (d’) thì hệ có vô số nghiệm

+ Hệ phương trình tương đương: Hệ hai phương trình tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm

• Xem thêm: Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình cực dễ hiểu

II. Hai phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Phương pháp cộng đại số

a) Quy tắc cộng đại số

- Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương gồm hai bước:

- Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới.

- Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia).

b) Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

- Bước 1: Nhân các vế của hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

- Bước 2: Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn).

- Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

 Ví dụ: Giải các hệ PT bậc nhất 2 ẩn sau bằng PP cộng đại số:

a) 

b)

* Lời giải:

a)   (lấy PT(1) + PT(2))

b)  (lấy PT(1) - PT(2))

2. Phương pháp thế

a) Quy tắc thế

- Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc thế bao gồm hai bước sau:

- Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thức nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thức hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).

- Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thức hai trong hệ (phương trình thức nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1).

b) Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

- Bước 1: Dùng quy tắc thế để biến đổi phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn.

- Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

 Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế

a)

b)

* Lời giải:

a) 

b) 

III. Các dạng toán ứng dụng

Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

* Phương pháp: xem phần tóm tắt lý thuyết

Bài 12 trang 15 sgk toán 9 tập 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế

a)    b) 

c) 

Lời giải:

a) 

  ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (10;7)

b)

  ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (11/19;-6/19)

c)

  ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (25/19;-21/19)

* Nhận xét: Qua bài 12 này, các em thấy phương pháp thế sẽ sử dụng thuận tiện hơn khi 1 trong phương trình của hệ có các hệ số của x hoặc y là 1 hoặc -1. Khi đó chỉ cần rút x hoặc y ở phương trình có hệ số là 1 hoặc -1 này và thay vào phương trình còn lại để giải hệ.

- Đối với các hệ PT trình mà không có hệ số nào của x và y là 1 hoặc -1 thì việc sử dụng phương pháp thế làm phát sinh các phân số và việc cộng trừ dễ làm ta sai sót hơn như bài 13 dưới đây.

Bài 13 trang 15 sgk toán 9 tập 2: Giải hệ PT sau bằng phương pháp thế

a)      b)

Lời giải:

a) 

  ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (7;5)

b)

  ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (3;³/₂)

Dạng 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

* Phương pháp: xem phần tóm tắt lý thuyết

Bài 20 trang 19 sgk toán 9 tập 2: Giải các hệ PT sau bằng PP cộng đại số

a)      b)

c)    d)

e)

Lời giải:

a)

  Lưu ý: Lấy PT(1)+PT(2)

  ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (2;-3)

b)

  Lưu ý: Lấy PT(1)-PT(2)

  ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (2;-3)

c)   (Nhân 2 vế PT(2) với 2 để hệ số của x ở 2 PT bằng nhau)

  (lấy PT(1) - PT(2))

  ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (2;-3)

d)  (Nhân 2 vế PT(1) với 3, 2 vế PT(2) với 2)

  (Lấy PT(1)-PT(2))

  ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (-1;0)

e)  (Nhân 2 vế PT(1) với 5)

   (Lấy PT(1)-PT(2))

  ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (5;3)

* Nhận xét: Khi không có bất kỳ hệ số nào của x, y là 1 hay -1 thì phương pháp cộng đại số giúp các em đỡ nhầm lẫn hơn trong phép tính.

Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

* Phương pháp:

- Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa

- Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ

- Bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt (sử dụng pp thế hoặc pp cộng đại số)

- Bước 4: Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ

 Ví dụ: Giải hệ phương trình sau

a)     b) 

* Lời giải:

a) Điều kiện: x, y ≠ 0 (mẫu số khác 0).

 Đặt:  ta có hệ ban đầu trở thành:

- trở lại ẩn ban đầu x và y ta có:

 ⇒ thỏa điều kiện, nên hệ có nghiệm duy nhất (1;1)

b) Điều kiện: x ≠ -1 và y ≠ 3 (mẫu số khác 0)

 Đặt:  ta có hệ ban đầu trở thành:

 Trở lại ẩn ban đầu x và y ta có: 

⇒ thỏa điều kiện, nên hệ có nghiệm duy nhất (-5/4;6)

Dạng 4: Xác định tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng

* Phương pháp:

- Tọa độ giao điểm chính là nghiệm của hệ được tạo bởi 2 phương trình đường thẳng đã cho.

 Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng sau:

a) d₁: 2x - y = 3 và d₂: x + y = 3

b)  d₁: 2x + y = 5 và d₂: x - 3y = 6

* Lời giải:

a) Tọa độ điểm I là giao của d₁ và d₂ là nghiệm của hệ: 

 - Giải hệ bằng 1 trong 2 phương pháp cộng đại số hoặc thế:

⇒ Tọa độ giao điểm I của d₁ và d₂ là (2;1).

b) Tọa độ điểm I là giao của d₁ và d₂ là nghiệm của hệ: 

⇒ Tọa độ giao điểm I của d₁ và d₂ là (4;-2).

Dạng 5: Giải và biện luận hệ phương trình

* Phương pháp:

+ Từ một phương trình của hệ, rút y theo x (sử dụng phương pháp thế) rồi thay vào phương trình còn lại để được phương trình dạng ax +b = 0, rồi thực hiện các bước biện luận như sau:

- Nếu a ≠ 0, thì x = b/a; thay vào biểu thức để tìm y; hệ có nghiệm duy nhất.

- Nếu a = 0, ta có, 0.x = b:

  _ Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm

  _ Nếu b ≠ 0 thì hệ vô nghiệm

 Ví dụ: Giải biện luận hệ phương trình sau: 

* Lời giải

- Từ PT(1) ta có: y = mx - 2m, thế vào PT(2) ta được:

  x - m(mx-2m) = m + 1

⇔ x - m²x + 2m² = m + 1

⇔ (1 - m²)x = -2m² + m + 1

⇔ (1 - m)(1 + m)x = 1 - m² + m - m²

⇔ (1 - m)(1 + m)x = (1 - m)(1+m)+ m(1 - m)

⇔ (1 - m)(1 + m)x = (1 - m)(1+m)+ m(1 - m)

⇔ (1 - m)(1 + m)x = (1 - m)(1+2m)     (3)

* Nếu m ≠ ±1, ta có: 

  khi đó: 

⇒ Hệ có nghiệm duy nhất: 

* Nếu m = -1, thay vào (3) ta được: 0.x = -2 ⇒ hệ vô nghiệm

* Nếu m = 1, thay vào (3) ta được: 0.x = 0 ⇒ hệ có vô số nghiệm, tập nghiệm (x;x-2)

• Kết luận:

 - Nếu m = -1, hệ vô nghiệm

 - Nếu m = 1, hệ có vô số nghiệm, tập nghiệm (x;x-2)

 - Nếu m ≠ ±1, hệ có nghiệp duy nhất: 

Dạng 6: Xác định tham số m để hệ PT thoả mãn điều kiện về nghiệm số

* Phương pháp:

- Giải hệ phương trình tìm x, y theo m

- Với điều kiện về nghiệm số của đề bài tìm m

 Ví dụ: Cho hệ phương trình: 

tìm giá trị a ∈ Z, để hệ có nghiệm (x;y) với x,y ∈ Z

* Lời giải:

- Từ PT(2) ta có: x = a² + 4a - ay, thế vào PT(1) được

 (a+1)(a² + 4a - ay) - ay = 5

⇔ a(a+2)y = a³ + 5a² + 4a - 5    (*)

- Nếu a = 0 hoặc a = -2 thì (*) vô nghiệm

- Nếu a ≠ 0 và a ≠ -2 thì: 

⇒ 

- Trước hết tìm a ∈ Z để x ∈ Z

- Để x ∈ Z thì a + 2 ∈ Ư(1) ⇒ a + 2 = ±1 ⇒ a = -3 hoặc a = -1

 Với a = -3 ⇒ 

 Với a = -1 ⇒ y = 5

⇒ Vậy với a = -1 hệ có nghiệm nguyên là (2;5)