Cách giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn với phương pháp thế và phương pháp cộng đại số (đầy đủ nhất)

Bài viết này sẽ giúp các em tìm hiểu chi tiết về hai phương pháp này, đồng thời làm quen với các dạng toán ứng dụng thực tế để vận dụng linh hoạt trong từng bài toán cụ thể.

I. Tổng quan về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Phương trình bậc nhất 2 ẩn

Định nghĩa: Là phương trình có dạng $ax + by = c$ với $a, b, c \in \mathbb{R}$ ($a^2 + b^2 \neq 0$).

Tập nghiệm: Phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi một đường thẳng $(d)$ trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$.

• Nếu $a \neq 0, b \neq 0$ thì đường thẳng $(d)$ là đồ thị hàm số: $y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b}$.

• Nếu $a \neq 0, b = 0$ thì phương trình trở thành $ax = c \Leftrightarrow x = \frac{c}{a}$ (đường thẳng $(d)$ song song hoặc trùng với trục tung).

• Nếu $a = 0, b \neq 0$ thì phương trình trở thành $by = c \Leftrightarrow y = \frac{c}{b}$ (đường thẳng $(d)$ song song hoặc trùng với trục hoành).

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát:

Trong đó $a, b, c, a', b', c' \in \mathbb{R}$.

Minh họa tập nghiệm hình học: Gọi đường thẳng $(d): ax + by = c$ và $(d'): a'x + b'y = c'$, ta có mối quan hệ:

• $(d) \parallel (d')$: Hệ phương trình vô nghiệm.

• $(d)$ cắt $(d')$: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

• $(d) \equiv (d')$: Hệ phương trình có vô số nghiệm.

Khái niệm tương đương: Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng một tập nghiệm.

II. Hai phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cơ bản

1. Phương pháp cộng đại số

Quy tắc cộng đại số: Dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương bằng cách cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ để thu được một phương trình mới một ẩn, sau đó dùng phương trình mới này thay thế cho một trong hai phương trình ban đầu.

Các bước giải:

• Bước 1: Nhân các vế của hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó bằng nhau hoặc đối nhau.

• Bước 2: Cộng hoặc trừ từng vế hai phương trình để triệt tiêu ẩn đó, thu được phương trình một ẩn.

• Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ.

Ví dụ minh họa: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

• a) $\begin{cases} 2x+y=3 \\ x-y=6 \end{cases}$

  • Lời giải: Cộng vế với vế của phương trình (1) và (2) ta được: $3x = 9 \Leftrightarrow x = 3$.

  • Thế $x = 3$ vào phương trình (2) ta có: $3 - y = 6 \Leftrightarrow y = -3$.

  • Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = (3; -3)$.

• b) $\begin{cases} 2x+3y=5 \\ 2x-y=1 \end{cases}$

  • Lời giải: Trừ vế với vế của phương trình (1) cho phương trình (2) ta được: $4y = 4 \Leftrightarrow y = 1$.

  • Thế $y = 1$ vào phương trình (2) ta có: $2x - 1 = 1 \Leftrightarrow 2x = 2 \Leftrightarrow x = 1$.

  • Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = (1; 1)$.

2. Phương pháp thế

Quy tắc thế: Biến đổi hệ phương trình bằng cách biểu diễn một ẩn theo ẩn kia từ một phương trình, rồi thế vào phương trình còn lại để được phương trình mới chỉ còn một ẩn.

Các bước giải:

• Bước 1: Từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại để được phương trình một ẩn.

• Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa thu được, sau đó tính ẩn còn lại và kết luận nghiệm.

Ví dụ minh họa: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

• a) $\begin{cases} 2x+y=4 \\ 2x-y=0 \end{cases}$

  • Lời giải: Từ phương trình (2) suy ra $y = 2x$. Thế vào phương trình (1) ta được: $2x + 2x = 4 \Leftrightarrow 4x = 4 \Leftrightarrow x = 1$.

  • Với $x = 1 \Rightarrow y = 2 \cdot 1 = 2$.

  • Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = (1; 2)$.

• b) $\begin{cases} 2x+3y=1 \\ x-y=3 \end{cases}$

  • Lời giải: Từ phương trình (2) suy ra $x = y + 3$. Thế vào phương trình (1) ta được: $2(y + 3) + 3y = 1 \Leftrightarrow 5y + 6 = 1 \Leftrightarrow 5y = -5 \Leftrightarrow y = -1$.

  • Với $y = -1 \Rightarrow x = -1 + 3 = 2$.

  • Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = (2; -1)$.

III. Các dạng toán ứng dụng và bài tập có lời giải chi tiết

Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Mẹo nhỏ từ HayHocHoi: Phương pháp thế sẽ cực kỳ thuận tiện khi trong hệ có ít nhất một ẩn mang hệ số là $1$ hoặc $-1$. Khi đó việc rút ẩn sẽ không sinh ra phân số, giúp tính toán nhanh và tránh sai sót.

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

• a) $\begin{cases} x-y=3 \\ 3x-4y=2 \end{cases}$

  • Lời giải: Từ (1) $\Rightarrow x = y + 3$. Thế vào (2) ta được: $3(y + 3) - 4y = 2 \Leftrightarrow 3y + 9 - 4y = 2 \Leftrightarrow -y = -7 \Leftrightarrow y = 7$.

  • Thay $y = 7 \Rightarrow x = 7 + 3 = 10$.

  • Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(10; 7)$.

• b) $\begin{cases} 7x-3y=5 \\ 4x+y=2 \end{cases}$

  • Lời giải: Từ (2) $\Rightarrow y = 2 - 4x$. Thế vào (1) ta được: $7x - 3(2 - 4x) = 5 \Leftrightarrow 19x - 6 = 5 \Leftrightarrow 19x = 11 \Leftrightarrow x = \frac{11}{19}$.

  • Thay $x = \frac{11}{19} \Rightarrow y = 2 - 4 \cdot \frac{11}{19} = -\frac{6}{19}$.

  • Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(\frac{11}{19}; -\frac{6}{19}\right)$.

• c) $\begin{cases} x+3y=-2 \\ 5x-4y=11 \end{cases}$

  • Lời giải: Từ (1) $\Rightarrow x = -2 - 3y$. Thế vào (2) ta được: $5( -2 - 3y) - 4y = 11 \Leftrightarrow -10 - 19y = 11 \Leftrightarrow -19y = 21 \Leftrightarrow y = -\frac{21}{19}$.

  • Thay $y = -\frac{21}{19} \Rightarrow x = -2 - 3\left(-\frac{21}{19}\right) = \frac{25}{19}$.

  • Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(\frac{25}{19}; -\frac{21}{19}\right)$.

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế (trường hợp hệ số bất kỳ):

• a) $\begin{cases} 3x-2y=11 \\ 4x-5y=3 \end{cases}$

  • Lời giải: Từ (1) $\Rightarrow x = \frac{11 + 2y}{3}$. Thế vào (2) ta được: $4\left(\frac{11 + 2y}{3}\right) - 5y = 3 \Leftrightarrow 44 + 8y - 15y = 9 \Leftrightarrow -7y = -35 \Leftrightarrow y = 5$.

  • Thay $y = 5 \Rightarrow x = \frac{11 + 2 \cdot 5}{3} = 7$.

  • Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(7; 5)$.

• b) $\begin{cases} \frac{x}{3} - \frac{y}{2} = 1 \\ 5x-8y=3 \end{cases}$

  • Lời giải: Quy đồng phương trình (1) ta được $2x - 3y = 6 \Rightarrow x = \frac{6 + 3y}{2}$. Thế vào (2) ta được: $5\left(\frac{6 + 3y}{2}\right) - 8y = 3 \Leftrightarrow 30 + 15y - 16y = 6 \Leftrightarrow -y = -24 \Leftrightarrow y = 24$.

  • Thay $y = 24 \Rightarrow x = \frac{6 + 3 \cdot 24}{2} = 39$.

  • Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(39; 24)$.

Dạng 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

• a) $\begin{cases} 3x+y=3 \\ 2x-y=7 \end{cases}$

  • Lời giải: Cộng vế theo vế hai phương trình ta được: $5x = 10 \Leftrightarrow x = 2$.

  • Thay $x = 2$ vào phương trình (1): $3 \cdot 2 + y = 3 \Leftrightarrow y = -3$.

  • Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(2; -3)$.

• b) $\begin{cases} 2x+5y=8 \\ 2x-3y=0 \end{cases}$

  • Lời giải: Trừ vế theo vế hai phương trình ta được: $8y = 8 \Leftrightarrow y = 1$.

  • Thay $y = 1$ vào phương trình (2): $2x - 3 \cdot 1 = 0 \Leftrightarrow 2x = 3 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}$.

  • Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(\frac{3}{2}; 1\right)$.

• c) $\begin{cases} 4x+3y=6 \\ 2x+y=4 \end{cases}$

  • Lời giải: Nhân hai vế của phương trình (2) với 2 ta được hệ: $\begin{cases} 4x+3y=6 \\ 4x+2y=8 \end{cases}$. Trừ vế theo vế ta thu được: $y = -2$.

  • Thay $y = -2$ vào phương trình (2) ban đầu: $2x + (-2) = 4 \Leftrightarrow 2x = 6 \Leftrightarrow x = 3$.

  • Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(3; -2)$.

• d) $\begin{cases} 2x+3y=-2 \\ 3x-2y=-3 \end{cases}$

  • Lời giải: Nhân phương trình (1) với 2 và phương trình (2) với 3 ta được hệ: $\begin{cases} 4x+6y=-4 \\ 9x-6y=-9 \end{cases}$. Cộng vế theo vế ta được: $13x = -13 \Leftrightarrow x = -1$.

  • Thay $x = -1$ vào phương trình (1): $2(-1) + 3y = -2 \Leftrightarrow 3y = 0 \Leftrightarrow y = 0$.

  • Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(-1; 0)$.

• e) $\begin{cases} 0,3x+0,5y=3 \\ 1,5x-2y=1,5 \end{cases}$

  • Lời giải: Nhân phương trình (1) với 5 ta được hệ: $\begin{cases} 1,5x+2,5y=15 \\ 1,5x-2y=1,5 \end{cases}$. Trừ vế theo vế ta được: $4,5y = 13,5 \Leftrightarrow y = 3$.

  • Thay $y = 3$ vào phương trình (2): $1,5x - 2 \cdot 3 = 1,5 \Leftrightarrow 1,5x = 7,5 \Leftrightarrow x = 5$.

  • Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(5; 3)$.

Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Phương pháp chung:

• Bước 1: Đặt điều kiện xác định cho hệ (mẫu số khác 0, biểu thức trong căn không âm...).

• Bước 2: Chọn ẩn phụ thích hợp để đưa hệ phức tạp về dạng bậc nhất hai ẩn cơ bản.

• Bước 3: Giải hệ mới bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số để tìm ẩn phụ.

• Bước 4: Thế ngược lại ẩn phụ để tìm ẩn ban đầu, đối chiếu điều kiện và kết luận.

Ví dụ minh họa: Giải các hệ phương trình sau:

• a) $\begin{cases} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2 \\ \frac{3}{x}-\frac{4}{y}=-1 \end{cases}$

  • Lời giải: Điều kiện $x, y \neq 0$. Đặt $u = \frac{1}{x}, v = \frac{1}{y}$, hệ trở thành: $\begin{cases} u+v=2 \\ 3u-4v=-1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 4u+4v=8 \\ 3u-4v=-1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 7u=7 \\ u+v=2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u=1 \\ v=1 \end{cases}$.

  • Trở lại ẩn ban đầu: $\frac{1}{x} = 1 \Rightarrow x = 1$ và $\frac{1}{y} = 1 \Rightarrow y = 1$ (Thỏa mãn điều kiện).

  • Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(1; 1)$.

• b) $\begin{cases} \frac{5x}{x+1}+\frac{y}{y-3}=27 \\ \frac{2x}{x+1}-\frac{3y}{y-3}=4 \end{cases}$

  • Lời giải: Điều kiện $x \neq -1, y \neq 3$. Đặt $u = \frac{x}{x+1}, v = \frac{y}{y-3}$, hệ trở thành: $\begin{cases} 5u+v=27 \\ 2u-3v=4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 15u+3v=81 \\ 2u-3v=4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 17u=85 \\ 5u+v=27 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u=5 \\ v=2 \end{cases}$.

  • Trở lại ẩn ban đầu:

    • $\frac{x}{x+1} = 5 \Leftrightarrow x = 5x + 5 \Leftrightarrow -4x = 5 \Leftrightarrow x = -\frac{5}{4}$.

    • $\frac{y}{y-3} = 2 \Leftrightarrow y = 2y - 6 \Leftrightarrow y = 6$.

  • Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện. Kết luận: Hệ có nghiệm duy nhất $\left(-\frac{5}{4}; 6\right)$.

Dạng 4: Xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng

Phương pháp giải: Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $(d_1)$ và $(d_2)$ chính là nghiệm của hệ phương trình được lập bởi phương trình của hai đường thẳng đó.

Ví dụ minh họa: Tìm tọa độ giao điểm của các cặp đường thẳng sau:

• a) $(d_1): 2x - y = 3$ và $(d_2): x + y = 3$

  • Lời giải: Tọa độ giao điểm $I$ là nghiệm của hệ: $\begin{cases} 2x-y=3 \\ x+y=3 \end{cases}$. Cộng vế theo vế ta được: $3x = 6 \Leftrightarrow x = 2$. Từ đó tính được $y = 3 - 2 = 1$.

  • Kết luận: Tọa độ giao điểm $I$ là $(2; 1)$.

• b) $(d_1): 2x + y = 5$ và $(d_2): x - 3y = 6$

  • Lời giải: Tọa độ giao điểm $I$ là nghiệm của hệ: $\begin{cases} 2x+y=5 \\ x-3y=6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 6x+3y=15 \\ x-3y=6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 7x=21 \\ 2x+y=5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=3 \\ y=-1 \end{cases}$.

  • Kết luận: Tọa độ giao điểm $I$ là $(3; -1)$.

Dạng 5: Giải và biện luận hệ phương trình chứa tham số $m$

Phương pháp giải: Rút một ẩn theo ẩn còn lại từ một phương trình rồi thế vào phương trình thứ hai để đưa về dạng phương trình bậc nhất một ẩn: $Ax = B$.

• Nếu $A \neq 0$: Phương trình có nghiệm duy nhất $\Rightarrow$ Hệ có nghiệm duy nhất.

• Nếu $A = 0$ và $B \neq 0$: Phương trình vô nghiệm $\Rightarrow$ Hệ vô nghiệm.

• Nếu $A = 0$ và $B = 0$: Phương trình vô số nghiệm $\Rightarrow$ Hệ vô số nghiệm.

Ví dụ minh họa: Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số $m$:

Lời giải: Từ phương trình (1) ta rút ra: $y = mx - 2m$. Thế vào phương trình (2) ta được:

• Trường hợp 1: Nếu $m \neq \pm 1$, phương trình (3) có nghiệm duy nhất:

  $$x = \frac{(1-m)(1+2m)}{(1-m)(1+m)} = \frac{2m+1}{m+1}$$

  Khi đó: $y = m\left(\frac{2m+1}{m+1}\right) - 2m = \frac{2m^2+m-2m^2-2m}{m+1} = \frac{-m}{m+1}$.

• Trường hợp 2: Nếu $m = -1$, thay vào (3) ta được: $0x = -2 \Rightarrow$ Phương trình vô nghiệm $\Rightarrow$ Hệ vô nghiệm.

• Trường hợp 3: Nếu $m = 1$, thay vào (3) ta được: $0x = 0 \Rightarrow$ Phương trình vô số nghiệm. Khi đó $y = x - 2$. Hệ có vô số nghiệm với tập nghiệm dạng $(x; x-2)$.

Kết luận tổng hợp:

• Với $m = -1$: Hệ vô nghiệm.

• Với $m = 1$: Hệ có vô số nghiệm với tập nghiệm là $(x; x-2), x \in \mathbb{R}$.

• Với $m \neq \pm 1$: Hệ có nghiệm duy nhất $(x; y) = \left(\frac{2m+1}{m+1}; \frac{-m}{m+1}\right)$.

Dạng 6: Xác định tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện nghiệm số

Phương pháp giải: Giải hệ phương trình để tìm nghiệm $(x; y)$ theo tham số. Sau đó, thay cặp nghiệm này vào điều kiện ràng buộc của đề bài (nghiệm nguyên, biểu thức đại số, bất đẳng thức...) để tìm giá trị tham số phù hợp.

Ví dụ minh họa: Cho hệ phương trình với tham số $a$:

Tìm giá trị $a \in \mathbb{Z}$ để hệ có nghiệm nguyên $(x; y)$ (tức là $x, y \in \mathbb{Z}$).

Lời giải: Cộng vế với vế hai phương trình của hệ ta nhận được:

• Nếu $a = -2$, phương trình (*) trở thành $0x = 1 \Rightarrow$ Hệ vô nghiệm.

• Nếu $a \neq -2$, từ (*) suy ra: $x = \frac{(a+2)^2 + 1}{a+2} = a + 2 + \frac{1}{a+2}$. Thay $x$ vào phương trình (2) để tìm $y$:

  $$ay = a^2 + 4a - x = a^2 + 4a - \left(a + 2 + \frac{1}{a+2}\right) = \frac{a(a+1)(a+3)}{a+2}$$
  $$\Rightarrow y = \frac{(a+1)(a+3)}{a+2} = \frac{a^2+4a+3}{a+2} = a + 2 - \frac{1}{a+2}$$

Để hệ có nghiệm $(x; y)$ nguyên với $a \in \mathbb{Z}$ thì $\frac{1}{a+2}$ bắt buộc phải là số nguyên.

• TH1: $a + 2 = 1 \Rightarrow a = -1$ (Thỏa mãn $a \neq -2$). Thay vào ta được cặp nghiệm nguyên là $(2; 5)$.

• TH2: $a + 2 = -1 \Rightarrow a = -3$ (Thỏa mãn $a \neq -2$). Tuy nhiên khi thay $a = -3$ vào biểu thức $y$, ta cần kiểm tra lại toàn bộ tính nguyên. Cụ thể: với $a = -3 \Rightarrow x = -2, y = 0 \in \mathbb{Z}$. Do đó $a = -3$ vẫn thỏa mãn.

Kết luận: Các giá trị $a$ nguyên thỏa mãn yêu cầu đề bài là $a = -1$ và $a = -3$.