Điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng trong không gian Oxyz - Toán 12 chuyên đề

16:26:3115/09/2022

Chào mừng các em đến với bài viết chuyên sâu về điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng trong không gian Oxyz. Đây là một kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 12, đặc biệt khi làm việc với các bài toán về tích có hướng và ứng dụng của nó. Bài viết này sẽ hệ thống lại lý thuyết và cung cấp các ví dụ thực tế giúp các em nắm vững cách giải.

Như vậy, điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng trong không gian Oxyz là gì? Cách để chứng minh ba vectơ đồng phẳng như thế nào? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây.

I. Điều kiện để 3 vectơ đồng phằng trong không gian Oxyz

Trong không gian Oxyz, ba vectơ $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ , $\overrightarrow{c}$ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. Dưới đây là các phương pháp để chứng minh ba vectơ đồng phẳng:

1. Dựa vào điều kiện tuyến tính

Ba vectơ $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ , $\overrightarrow{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi có hai số thực $m, n$ sao cho: $\vec{c}=m\vec{a}+n\vec{b}$

2. Dựa vào tích có hướng

Trong chương trình Toán 12, cách chứng minh ba vectơ đồng phẳng hiệu quả nhất là sử dụng tích có hướng. Ba vectơ $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ , $\overrightarrow{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi:

$[\vec{a},\vec{b}]\cdot\vec{c}=0$

(Tích có hướng của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ nhân vô hướng với $\overrightarrow{c}$ bằng 0).

II. Bài tập vận dụng tìm giá trị m để 3 vectơ đồng phẳng

Bài tập 1: Trong không gian Oxyz cho ba vectơ:

$\small \overrightarrow{u}=(x^2;x;x^2-5)$

$\small \overrightarrow{v}=(-4;2;1);\: \overrightarrow{v}=(0;-2;3);$

Tìm x để 3 vectơ trên đồng phẳng.

Lời giải:

Ta có 3 vectơ $\small \overrightarrow{u}; \:\overrightarrow{v};\: \overrightarrow{w}$ đồng phẳng $\small \Leftrightarrow [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}].\overrightarrow{w}=0$

Theo bài ra, ta có:

$\small [\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}]=\left ( \left | \begin{matrix} 2 & 1\\ -2& 3 \end{matrix} \right |; \left | \begin{matrix} 1 & -4\\ 3& 0 \end{matrix} \right |; \left | \begin{matrix} -4 & 2\\ 0& -2 \end{matrix} \right | \right )$

$\small =(6+2;0+12;8-0)=(8;12;8)$ nên

$\small [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}].\overrightarrow{w}=8x^2+12x+8(x^2-5)$ $\small =16x^2+12x-40$

Để $\small \overrightarrow{u}; \:\overrightarrow{v};\: \overrightarrow{w}$ đồng phẳng $\small \Leftrightarrow [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}].\overrightarrow{w}=0$

⇔ 16x² + 12x - 40 = 0

⇔ x = -2 hoặc x = 5/4.

Bài tập 2: Trong không gian Oxyz, cho $\small \overrightarrow{u}=(1;1;2)$ và $\small \overrightarrow{v}=(-1;3;1)$ .

Tìm vectơ đơn vị đồng phẳng với $\small \overrightarrow{u},\: \overrightarrow{v}$ và tạo với $\small \overrightarrow{u}$ góc 45⁰.

Lời giải:

- Gọi vectơ phải tìm là $\small \overrightarrow{w} =(x;y;z)$

Theo giả thiết, ta có: $\small \left |\overrightarrow{w} \right |^2 =x^2+y^2+z^2=1$

$\small cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{w})=\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}}{|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{w}|}$

$\small =\frac{x+y+2z}{\sqrt{6}}=cos45^0=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Suy ra: $\small x+y+2z=\sqrt{3}$

Mặt khác: $\small \overrightarrow{u}; \:\overrightarrow{v};\: \overrightarrow{w}$ đồng phẳng nên

$\small \overrightarrow{w}=m\overrightarrow{u}+n\overrightarrow{v}$ $\small \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=m-n\\ y=m+3n\\ z=2m+n \end{matrix}\right.$

⇒ 5x + 3y - 4z = 0

Từ đó ta có hệ phương trình: $\small \left\{\begin{matrix} x^2+y^2+z^2=1\\ x+y+2z=\sqrt{3}\\ 5x+3y-4z=0 \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình ta tìm được 2 vectơ thoả điều kiện bài toán:

$\small \overrightarrow{w_1}=\left (\frac{\sqrt{3}(1+\sqrt{2})}{6}; \frac{\sqrt{3}(5-7\sqrt{2})}{30};\frac{\sqrt{3}(10+\sqrt{2})}{30} \right )$

$\small \overrightarrow{w_2}=\left (\frac{\sqrt{3}(1-\sqrt{2})}{6}; \frac{\sqrt{3}(5+7\sqrt{2})}{30};\frac{\sqrt{3}(10-\sqrt{2})}{30} \right )$

Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho $a = (1; 1; - 2)$ và $b = (- 2; 1; - 1)$ . Tìm vectơ đơn vị $\overrightarrow{u}$ đồng phẳng với $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ và tạo với $\overrightarrow{a}$ một góc $4 5^{\circ}$ .

Lời giải:
Gọi vectơ cần tìm là $\overrightarrow{u}$ $= (x; y; z)$ .

Theo giả thiết, $\overrightarrow{u}$ là vectơ đơn vị, nên $|\vec{u}|=1$ , suy ra $x^2+y^2+z^2=1$ .

$\overrightarrow{u}$ đồng phẳng với $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ nên $[\vec{a},\vec{b}]\cdot\vec{u}=0$ . Ta có:

$[\vec{a},\vec{b}]=(1\cdot(-1)-(-2)\cdot1;(-2)\cdot(-2)-1\cdot(-1);1\cdot1-1\cdot(-2))$

$=(-1+2;4+1;1+2)=(1;5;3)$

Khi đó: $[\vec{a},\vec{b}]\cdot\vec{u}=1\cdot x+5\cdot y+3\cdot z=0$

$\overrightarrow{u}$ tạo với $\overrightarrow{a}$ một góc $4 5^{\circ}$ nên $\cos(\vec{u},\vec{a})=\cos(45^\circ)$ . Ta có:

$\cos(\vec{u},\vec{a})=\frac{\vec{u}\cdot\vec{a}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{a}|}$

mà $|\vec{u}|=1$ , $|\vec{a}|=\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{6}.$ , $\vec{u}\cdot\vec{a}=x+y-2z$ nên

$\frac{x+y-2z}{1\cdot\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\Leftrightarrow 2(x+y-2z)=2\sqrt{3}\Leftrightarrow x+y-2z=\sqrt{3}$

Từ đó ta có hệ phương trình: $\begin{cases}x+5y+3z=0\\x+y-2z=\sqrt{3}\\x^2+y^2+z^2=1\end{cases}$ Giải hệ này, ta sẽ tìm được tọa độ của vectơ $u$ .

Bài tập 4: Tìm m để 3 vectơ sau KHÔNG đồng phẳng.

$\small \overrightarrow{u}(1;2;3),\: \overrightarrow{v}(2;1;m),\: \overrightarrow{w}(2;m;1)$

Lời giải:

Giải sử 3 vectơ $\small \overrightarrow{u}(1;2;3),\: \overrightarrow{v}(2;1;m),\: \overrightarrow{w}(2;m;1)$ đồng phẳng

Khi đó ta có: $\small [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}].\overrightarrow{w}=0$

$\small [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}]=\left ( \left | \begin{matrix} 2 & 3\\ 1& m \end{matrix} \right |; \left | \begin{matrix} 3 & 1\\ m& 2 \end{matrix} \right |; \left | \begin{matrix} 1 & 2\\ 2& 1 \end{matrix} \right | \right )$

$\small =(2m-3;6-m;1-4)=(2m-3;6-m;-3)$

Nên $\small \dpi{100} \small [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}].\overrightarrow{w}=(2m-3).2+(6-m).m-3.1$

$\small = 4m-6+6m-m^2-3=-m^2+10m-9$

Vậy $\small [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}].\overrightarrow{w}=0$ $\small \Leftrightarrow -m^2+10m-9=0$

⇔ m = 1 hoặc m = 9

Vậy với m = 1 hoặc m = 9 thì 3 vectơ $\small \overrightarrow{u}; \:\overrightarrow{v};\: \overrightarrow{w}$ đồng phẳng

Suy ra, với m ≠ 1 và m ≠ 9 thì 3 vectơ $\small \overrightarrow{u}; \:\overrightarrow{v};\: \overrightarrow{w}$ KHÔNG đồng phẳng

Bài viết đã trình bày chi tiết điều kiện để ba vectơ đồng phẳng trong không gian Oxyz và cách áp dụng kiến thức này vào việc giải các bài toán thực tế. Nắm vững phương pháp sử dụng tích có hướng sẽ giúp các em giải quyết các bài toán liên quan một cách dễ dàng và hiệu quả.