Điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng trong không gian Oxyz - Toán 12 chuyên đề

Bài viết này sẽ hệ thống lại lý thuyết và cung cấp các ví dụ thực tế giúp các em nắm vững cách giải.

I. Điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng trong không gian Oxyz

Trong không gian Oxyz, ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. Dưới đây là các phương pháp để chứng minh ba vectơ đồng phẳng:

1. Dựa vào điều kiện tuyến tính

Ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi có hai số thực $m, n$ sao cho:

2. Dựa vào tích có hướng (Tích hỗn tạp)

Trong chương trình Toán 12, cách chứng minh ba vectơ đồng phẳng hiệu quả nhất là sử dụng tích có hướng. Ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi tích hỗn tạp của chúng bằng 0:

(Tích có hướng của $\vec{a}$ và $\vec{b}$ nhân vô hướng với $\vec{c}$ bằng 0).

II. Bài tập vận dụng chuyên đề vectơ đồng phẳng

Bài tập 1: Tìm x để 3 vectơ đồng phẳng

Trong không gian Oxyz cho ba vectơ: $\vec{u} = (x^2; x; x^2 - 5)$, $\vec{v} = (-4; 2; 1)$, $\vec{w} = (0; -2; 3)$. Tìm $x$ để 3 vectơ trên đồng phẳng.

Lời giải:

• Ta có 3 vectơ $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ đồng phẳng $\Leftrightarrow [\vec{v}, \vec{w}] \cdot \vec{u} = 0$.

• Tính tích có hướng $[\vec{v}, \vec{w}] = (6+2; 0+12; 8-0) = (8; 12; 8)$.

• Tích hỗn tạp: $[\vec{v}, \vec{w}] \cdot \vec{u} = 8x^2 + 12x + 8(x^2 - 5) = 16x^2 + 12x - 40$.

• Để đồng phẳng: $16x^2 + 12x - 40 = 0 \Leftrightarrow x = -2$ hoặc $x = 5/4$.

Bài tập 2: Tìm vectơ đơn vị đồng phẳng

Tìm vectơ đơn vị $\vec{w}$ đồng phẳng với $\vec{u} = (1; 1; 2), \vec{v} = (-1; 3; 1)$ và tạo với $\vec{u}$ góc $45^\circ$.

Lời giải:

• Gọi $\vec{w} = (x; y; z)$. Vì $|\vec{w}| = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 + z^2 = 1$.

• Góc giữa $\vec{u}$ và $\vec{w}$ bằng $45^\circ \Rightarrow x + y + 2z = \sqrt{3}$.

• Vì đồng phẳng nên $\vec{w} = m\vec{u} + n\vec{v}$, dẫn đến phương trình: $5x + 3y - 4z = 0$.

• Giải hệ phương trình ta được các vectơ $\vec{w}$ thỏa mãn (như đã trình bày ở nội dung trước).

Bài tập 3: Sử dụng tích có hướng tìm vectơ đơn vị

Cho $\vec{a} = (1; 1; -2)$ và $\vec{b} = (-2; 1; -1)$. Tìm vectơ đơn vị $\vec{u}$ đồng phẳng với $\vec{a}, \vec{b}$ và tạo với $\vec{a}$ một góc $45^\circ$.

Lời giải:

• Tính $[\vec{a}, \vec{b}] = (1; 5; 3)$.

• Vì $\vec{u}$ đồng phẳng nên $[\vec{a}, \vec{b}] \cdot \vec{u} = x + 5y + 3z = 0$.

• Kết hợp với điều kiện $|\vec{u}| = 1$ và góc $45^\circ$, ta lập hệ phương trình để giải tìm $x, y, z$.

Bài tập 4: Tìm m để 3 vectơ KHÔNG đồng phẳng

Tìm $m$ để 3 vectơ sau KHÔNG đồng phẳng: $\vec{u}(1; 2; 3), \vec{v}(2; 1; m), \vec{w}(2; m; 1)$.

Lời giải:

• Giả sử 3 vectơ đồng phẳng, khi đó: $[\vec{u}, \vec{v}] \cdot \vec{w} = 0$.

• Tính $[\vec{u}, \vec{v}] = (2m - 3; 6 - m; -3)$.

• Tính tích hỗn tạp: $[\vec{u}, \vec{v}] \cdot \vec{w} = (2m - 3) \cdot 2 + (6 - m) \cdot m - 3 \cdot 1 = -m^2 + 10m - 9$.

• Đồng phẳng khi $-m^2 + 10m - 9 = 0 \Leftrightarrow m = 1$ hoặc $m = 9$.

• Kết luận: Để 3 vectơ KHÔNG đồng phẳng thì $m \neq 1$ và $m \neq 9$.