Điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng trong không gian Oxyz - Toán 12 chuyên đề

16:26:3115/09/2022

Sau khi học về tích có hướng của 2 vectơ trong không gian Oxyz, chúng ta biết các chứng minh 3 vectơ đồng phẳng.

Như vậy, điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng trong không gian Oxyz là gì? Cách để chứng minh ba vectơ đồng phẳng như thế nào? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây.

I. Điều kiện để 3 vectơ đồng phằng trong không gian Oxyz

* Ở lớp 11, các em đã biết cách chứng minh 3 vectơ đồng phẳng như:

- Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng.

- Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu có m, n ∈ R sao cho:

$\small \overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$ thì $\small \overrightarrow{a}; \:\overrightarrow{b};\: \overrightarrow{c}$ đồng phẳng.

+ Để phân tích một vectơ $\small \overrightarrow{x}$ theo ba vectơ $\small \overrightarrow{a}; \:\overrightarrow{b};\: \overrightarrow{c}$ không đồng phẳng, ta tìm các số m, n, p sao cho: $\small \overrightarrow{x}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}+p\overrightarrow{c}$

* Khi học tích có hướng ở toán lớp 12, để chứng minh 3 vectơ đồng phẳng thì:

$\small \overrightarrow{u}; \:\overrightarrow{v};\: \overrightarrow{w}$ đồng phẳng $\small \Leftrightarrow [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}].\overrightarrow{w}=0$ hayhochoivn

II. Bài tập vận dụng tìm giá trị m để 3 vectơ đồng phẳng

* Bài tập 1: Trong không gian Oxyz cho ba vectơ:

$\small \overrightarrow{u}=(x^2;x;x^2-5)$

$\small \overrightarrow{v}=(-4;2;1);\: \overrightarrow{v}=(0;-2;3);$

Tìm x để 3 vectơ trên đồng phẳng.

* Lời giải:

Ta có 3 vectơ $\small \overrightarrow{u}; \:\overrightarrow{v};\: \overrightarrow{w}$ đồng phẳng $\small \Leftrightarrow [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}].\overrightarrow{w}=0$

Theo bài ra, ta có:

$\small [\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}]=\left ( \left | \begin{matrix} 2 & 1\\ -2& 3 \end{matrix} \right |; \left | \begin{matrix} 1 & -4\\ 3& 0 \end{matrix} \right |; \left | \begin{matrix} -4 & 2\\ 0& -2 \end{matrix} \right | \right )$

$\small =(6+2;0+12;8-0)=(8;12;8)$ nên

$\small [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}].\overrightarrow{w}=8x^2+12x+8(x^2-5)$ $\small =16x^2+12x-40$

Để $\small \overrightarrow{u}; \:\overrightarrow{v};\: \overrightarrow{w}$ đồng phẳng $\small \Leftrightarrow [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}].\overrightarrow{w}=0$

⇔ 16x² + 12x - 40 = 0

⇔ x = -2 hoặc x = 5/4.

* Bài tập 2: Trong không gian Oxyz, cho $\small \overrightarrow{u}=(1;1;2)$ và $\small \overrightarrow{v}=(-1;3;1)$ .

Tìm vectơ đơn vị đồng phẳng với $\small \overrightarrow{u},\: \overrightarrow{v}$ $\small \overrightarrow{u},\: \overrightarrow{v}$ và tạo với $\small \overrightarrow{u}$ góc 45⁰.

* Lời giải:

- Gọi vectơ phải tìm là $\small \overrightarrow{w} =(x;y;z)$

Theo giả thiết, ta có: $\small \left |\overrightarrow{w} \right |^2 =x^2+y^2+z^2=1$

$\small cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{w})=\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}}{|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{w}|}$

$\small =\frac{x+y+2z}{\sqrt{6}}=cos45^0=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Suy ra: $\small x+y+2z=\sqrt{3}$

Mặt khác: $\small \overrightarrow{u}; \:\overrightarrow{v};\: \overrightarrow{w}$ đồng phẳng nên

$\small \overrightarrow{w}=m\overrightarrow{u}+n\overrightarrow{v}$ $\small \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=m-n\\ y=m+3n\\ z=2m+n \end{matrix}\right.$

⇒ 5x + 3y - 4z = 0

Từ đó ta có hệ phương trình: $\small \left\{\begin{matrix} x^2+y^2+z^2=1\\ x+y+2z=\sqrt{3}\\ 5x+3y-4z=0 \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình ta tìm được 2 vectơ thoả điều kiện bài toán:

$\small \overrightarrow{w_1}=\left (\frac{\sqrt{3}(1+\sqrt{2})}{6}; \frac{\sqrt{3}(5-7\sqrt{2})}{30};\frac{\sqrt{3}(10+\sqrt{2})}{30} \right )$

$\small \overrightarrow{w_2}=\left (\frac{\sqrt{3}(1-\sqrt{2})}{6}; \frac{\sqrt{3}(5+7\sqrt{2})}{30};\frac{\sqrt{3}(10-\sqrt{2})}{30} \right )$

* Bài tập 3: Tìm m để 3 vectơ sau không đồng phẳng.

$\small \overrightarrow{u}(1;2;3),\: \overrightarrow{v}(2;1;m),\: \overrightarrow{w}(2;m;1)$

* Lời giải:

Giải sử 3 vectơ $\small \overrightarrow{u}(1;2;3),\: \overrightarrow{v}(2;1;m),\: \overrightarrow{w}(2;m;1)$ đồng phẳng

Khi đó ta có: $\small [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}].\overrightarrow{w}=0$

$\small [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}]=\left ( \left | \begin{matrix} 2 & 3\\ 1& m \end{matrix} \right |; \left | \begin{matrix} 3 & 1\\ m& 2 \end{matrix} \right |; \left | \begin{matrix} 1 & 2\\ 2& 1 \end{matrix} \right | \right )$

$\small =(2m-3;6-m;1-4)=(2m-3;6-m;-3)$

Nên $\small \dpi{100} \small [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}].\overrightarrow{w}=(2m-3).2+(6-m).m-3.1$

$\small = 4m-6+6m-m^2-3=-m^2+10m-9$

Vậy $\small [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}].\overrightarrow{w}=0$ $\small \Leftrightarrow -m^2+10m-9=0$

⇔ m = 1 hoặc m = 9

Vậy với m = 1 hoặc m = 9 thì 3 vectơ $\small \overrightarrow{u}; \:\overrightarrow{v};\: \overrightarrow{w}$ đồng phẳng

Suy ra, với m ≠ 1 và m ≠ 9 thì 3 vectơ $\small \overrightarrow{u}; \:\overrightarrow{v};\: \overrightarrow{w}$ KHÔNG đồng phẳng

Hy vọng với bài viết điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng trong không gian Oxyz toán lớp 12 ở trên đã giúp các em hiểu và nắm vững phần kiến thức này. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để Hay Học Hỏi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.

Điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng trong không gian Oxyz - Toán 12 chuyên đề

Tags:

Đánh giá & nhận xét