Chứng minh 3 vectơ đồng phẳng trong không gian Oxyz lớp 12

14:42:1827/11/2024

Để chứng minh 3 vectơ đồng phẳng ta sẽ vận dụng kiến thức về tích có hướng của 2 vectơ trong không gian Oxyz.

Bài viết dưới đây sẽ giúp các em biết cách chứng minh 3 vectơ đồng phẳng trong không gian Oxyz qua đó dễ dàng vận dụng giải toán lớp 12.

Cách chứng minh 3 vectơ đồng phằng trong không gian Oxyz.

* Ở lớp 11, các em đã biết cách chứng minh 3 vectơ đồng phẳng như:

- Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng.

- Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu có m, n ∈ R sao cho:

$\small \overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$ thì $\small \overrightarrow{a}; \:\overrightarrow{b};\: \overrightarrow{c}$ đồng phẳng.

+ Để phân tích một vectơ $\small \overrightarrow{x}$ theo ba vectơ $\small \overrightarrow{a}; \:\overrightarrow{b};\: \overrightarrow{c}$ không đồng phẳng, ta tìm các số m, n, p sao cho: $\small \overrightarrow{x}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}+p\overrightarrow{c}$

* Khi học tích có hướng ở toán lớp 12, để chứng minh 3 vectơ đồng phẳng thì:

Ba vectơ $\small \overrightarrow{u}; \:\overrightarrow{v};\: \overrightarrow{w}$ đồng phẳng $\small \Leftrightarrow [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}].\overrightarrow{w}=0$

Vận dụng Tìm m để 3 vectơ đồng phẳng

* Bài tập 1: Trong không gian Oxyz cho ba vectơ:

$\small \overrightarrow{u}=(x^2;x;x^2-5)$

$\small \overrightarrow{v}=(-4;2;1);\: \overrightarrow{v}=(0;-2;3);$

Tìm x để 3 vectơ trên đồng phẳng.

* Lời giải:

Ta có 3 vectơ $\small \overrightarrow{u}; \:\overrightarrow{v};\: \overrightarrow{w}$ đồng phẳng $\small \Leftrightarrow [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}].\overrightarrow{w}=0$

Theo bài ra, ta có:

$\small [\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}]=\left ( \left | \begin{matrix} 2 & 1\\ -2& 3 \end{matrix} \right |; \left | \begin{matrix} 1 & -4\\ 3& 0 \end{matrix} \right |; \left | \begin{matrix} -4 & 2\\ 0& -2 \end{matrix} \right | \right )$

$\small =(6+2;0+12;8-0)=(8;12;8)$ nên

$\small [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}].\overrightarrow{w}=8x^2+12x+8(x^2-5)$ $\small =16x^2+12x-40$

Để $\small \overrightarrow{u}; \:\overrightarrow{v};\: \overrightarrow{w}$ đồng phẳng $\small \Leftrightarrow [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}].\overrightarrow{w}=0$

⇔ 16x² + 12x - 40 = 0

⇔ x = -2 hoặc x = 5/4.

* Bài tập 2: Trong không gian Oxyz, cho $\small \overrightarrow{u}=(1;1;2)$ và $\small \overrightarrow{v}=(-1;3;1)$ .

Tìm vectơ đơn vị đồng phẳng với $\small \overrightarrow{u},\: \overrightarrow{v}$ $\small \overrightarrow{u},\: \overrightarrow{v}$ và tạo với $\small \overrightarrow{u}$ góc 45⁰.

* Lời giải:

- Gọi vectơ phải tìm là $\small \overrightarrow{w} =(x;y;z)$

Theo giả thiết, ta có: $\small \left |\overrightarrow{w} \right |^2 =x^2+y^2+z^2=1$

$\small cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{w})=\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}}{|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{w}|}$

$\small =\frac{x+y+2z}{\sqrt{6}}=cos45^0=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Suy ra: $\small x+y+2z=\sqrt{3}$

Mặt khác: $\small \overrightarrow{u}; \:\overrightarrow{v};\: \overrightarrow{w}$ đồng phẳng nên

$\small \overrightarrow{w}=m\overrightarrow{u}+n\overrightarrow{v}$ $\small \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=m-n\\ y=m+3n\\ z=2m+n \end{matrix}\right.$

⇒ 5x + 3y - 4z = 0

Từ đó ta có hệ phương trình: $\small \left\{\begin{matrix} x^2+y^2+z^2=1\\ x+y+2z=\sqrt{3}\\ 5x+3y-4z=0 \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình ta tìm được 2 vectơ thoả điều kiện bài toán:

$\small \overrightarrow{w_1}=\left (\frac{\sqrt{3}(1+\sqrt{2})}{6}; \frac{\sqrt{3}(5-7\sqrt{2})}{30};\frac{\sqrt{3}(10+\sqrt{2})}{30} \right )$

$\small \overrightarrow{w_2}=\left (\frac{\sqrt{3}(1-\sqrt{2})}{6}; \frac{\sqrt{3}(5+7\sqrt{2})}{30};\frac{\sqrt{3}(10-\sqrt{2})}{30} \right )$

* Bài tập 3: Tìm m để 3 vectơ sau không đồng phẳng.

$\small \overrightarrow{u}(1;2;3),\: \overrightarrow{v}(2;1;m),\: \overrightarrow{w}(2;m;1)$

* Lời giải:

Giải sử 3 vectơ $\small \overrightarrow{u}(1;2;3),\: \overrightarrow{v}(2;1;m),\: \overrightarrow{w}(2;m;1)$ đồng phẳng

Khi đó ta có: $\small [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}].\overrightarrow{w}=0$

$\small [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}]=\left ( \left | \begin{matrix} 2 & 3\\ 1& m \end{matrix} \right |; \left | \begin{matrix} 3 & 1\\ m& 2 \end{matrix} \right |; \left | \begin{matrix} 1 & 2\\ 2& 1 \end{matrix} \right | \right )$

$\small =(2m-3;6-m;1-4)=(2m-3;6-m;-3)$

Nên $\small \dpi{100} \small [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}].\overrightarrow{w}=(2m-3).2+(6-m).m-3.1$

$\small = 4m-6+6m-m^2-3=-m^2+10m-9$

Vậy $\small [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}].\overrightarrow{w}=0$ $\small \Leftrightarrow -m^2+10m-9=0$

⇔ m = 1 hoặc m = 9

Vậy với m = 1 hoặc m = 9 thì 3 vectơ $\small \overrightarrow{u}; \:\overrightarrow{v};\: \overrightarrow{w}$ đồng phẳng

Suy ra, với m ≠ 1 và m ≠ 9 thì 3 vectơ $\small \overrightarrow{u}; \:\overrightarrow{v};\: \overrightarrow{w}$ KHÔNG đồng phẳng

Hy vọng với bài hướng dẫn cách chứng minh 3 vectơ đồng phẳng trong không gian Oxyz toán lớp 12 ở trên đã giúp các em hiểu và nắm vững phần kiến thức này. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để Hay Học Hỏi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.