Chứng minh 4 điểm đồng phẳng bằng vectơ trong không gian Oxyz lớp 12

16:35:4427/11/2024

Để chứng minh 4 điểm $A, B, C, D$ đồng phẳng trong không gian $O x yz$ , chúng ta sẽ vận dụng kiến thức về tích có hướng của hai vectơ. Nắm vững điều kiện đồng phẳng của ba vectơ sẽ là chìa khóa để giải quyết bài toán này.

Vậy 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng khi nào? chúng ta cùng tìm hiểu cách chứng minh 4 điểm đồng phẳng bằng vectơ trong không gian Oxyz lớp 12 qua bài viết này.

Tích có hướng của 2 vectơ

Cho: $\small\,\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$ , $\small\,\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)$

$\small\,[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]=\left(\begin{vmatrix}a_2&a_3\\b_2&b_3\\\end{vmatrix};\begin{vmatrix}a_3&a_1\\b_3&b_1\\\end{vmatrix};\begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\\\end{vmatrix}\right)$

$=(a_2b_3-a_3b_2;a_3b_1-a_1b_3;a_1b_2-a_2b_1)$

1) Ba vectơ $\small\,\overrightarrow{a},\,\overrightarrow{b},\,\overrightarrow{c}$ KHÔNG đồng phẳng khi và chỉ khi: $\small\,[\overrightarrow{a},\,\overrightarrow{b}].\overrightarrow{c}\neq0$

Suy ra: 4 điểm A, B, C, D KHÔNG đồng phẳng khi và chỉ khi: $\small\,[\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC}].\overrightarrow{AD}\neq0$

2) Ba vectơ $\small\,\overrightarrow{a},\,\overrightarrow{b},\,\overrightarrow{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi: $\small\,[\overrightarrow{a},\,\overrightarrow{b}].\overrightarrow{c}=0$

Chứng minh 4 điểm đồng phẳng bằng vectơ trong không gian Oxyz lớp 12

Suy ra: 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng khi và chỉ khi: $\small\,[\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC}].\overrightarrow{AD}=0$

* Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.

Chứng minh 4 điểm đồng phẳng bằng vectơ lớp 12

* Bài tập 1: Cho A(1;0;1), B(0;0;2), C(0;1;1), D(-2;1;0)

Chứng minh 4 điểm A, B, C, D là các đỉnh của một tứ diện

* Lời giải:

Ta có: $\small\,\overrightarrow{AB}=(-1;0;1)$ , $\small\,\overrightarrow{AC}=(-1;1;0)$ , $\small\,\overrightarrow{AD}=(-3;1;-1)$

Theo bài ra, ta có:

$\small\,[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=\left(\left|\begin{matrix}0&1\\1&0\\\end{matrix}\right|,\left|\begin{matrix}1&-1\\0&-1\\\end{matrix}\right|,\left|\begin{matrix}-1&0\\-1&0\\\end{matrix}\right|\right)=(-1;-1;-1)$

$\small\,[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}].\overrightarrow{AD}=-1.(-3)+(-1).1+(-1).(-1)=3\neq0$

Vậy 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng hay A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.

* Bài tập 2: Trong không gian Oxyz, cho $\small \overrightarrow{u}=(1;1;2)$ và $\small \overrightarrow{v}=(-1;3;1)$ .

Tìm vectơ đơn vị đồng phẳng với $\small \overrightarrow{u},\: \overrightarrow{v}$ và tạo với $\small \overrightarrow{u}$ góc 45⁰.

* Lời giải:

- Gọi vectơ phải tìm là $\small \overrightarrow{w} =(x;y;z)$

Theo giả thiết, ta có: $\small \left |\overrightarrow{w} \right |^2 =x^2+y^2+z^2=1$

$\small cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{w})=\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}}{|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{w}|}$

$\small =\frac{x+y+2z}{\sqrt{6}}=cos45^0=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Suy ra: $\small x+y+2z=\sqrt{3}$

Mặt khác: $\small \overrightarrow{u}; \:\overrightarrow{v};\: \overrightarrow{w}$ đồng phẳng nên

$\small \overrightarrow{w}=m\overrightarrow{u}+n\overrightarrow{v}$ $\small \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=m-n\\ y=m+3n\\ z=2m+n \end{matrix}\right.$

⇒ 5x + 3y - 4z = 0

Từ đó ta có hệ phương trình: $\small \left\{\begin{matrix} x^2+y^2+z^2=1\\ x+y+2z=\sqrt{3}\\ 5x+3y-4z=0 \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình ta tìm được 2 vectơ thoả điều kiện bài toán:

$\small \overrightarrow{w_1}=\left (\frac{\sqrt{3}(1+\sqrt{2})}{6}; \frac{\sqrt{3}(5-7\sqrt{2})}{30};\frac{\sqrt{3}(10+\sqrt{2})}{30} \right )$

$\small \overrightarrow{w_2}=\left (\frac{\sqrt{3}(1-\sqrt{2})}{6}; \frac{\sqrt{3}(5+7\sqrt{2})}{30};\frac{\sqrt{3}(10-\sqrt{2})}{30} \right )$

* Bài tập 3: Tìm m để 3 vectơ sau không đồng phẳng.

$\small \overrightarrow{u}(1;2;3),\: \overrightarrow{v}(2;1;m),\: \overrightarrow{w}(2;m;1)$

* Lời giải:

Giải sử 3 vectơ $\small \overrightarrow{u}(1;2;3),\: \overrightarrow{v}(2;1;m),\: \overrightarrow{w}(2;m;1)$ đồng phẳng

Khi đó ta có: $\small [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}].\overrightarrow{w}=0$

$\small [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}]=\left ( \left | \begin{matrix} 2 & 3\\ 1& m \end{matrix} \right |; \left | \begin{matrix} 3 & 1\\ m& 2 \end{matrix} \right |; \left | \begin{matrix} 1 & 2\\ 2& 1 \end{matrix} \right | \right )$

$\small =(2m-3;6-m;1-4)=(2m-3;6-m;-3)$

Nên $\small \dpi{100} \small [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}].\overrightarrow{w}=(2m-3).2+(6-m).m-3.1$

$\small = 4m-6+6m-m^2-3=-m^2+10m-9$

Vậy $\small [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}].\overrightarrow{w}=0$ $\small \Leftrightarrow -m^2+10m-9=0$

⇔ m = 1 hoặc m = 9

Vậy với m = 1 hoặc m = 9 thì 3 vectơ $\small \overrightarrow{u}; \:\overrightarrow{v};\: \overrightarrow{w}$ đồng phẳng

Suy ra, với m ≠ 1 và m ≠ 9 thì 3 vectơ $\small \overrightarrow{u}; \:\overrightarrow{v};\: \overrightarrow{w}$ KHÔNG đồng phẳng

Bài viết đã trình bày chi tiết cách sử dụng tích có hướng để chứng minh 4 điểm trong không gian $O x yz$ đồng phẳng hoặc không đồng phẳng. Nắm vững phương pháp này sẽ giúp các em giải quyết các bài toán liên quan một cách dễ dàng và hiệu quả.