Cách tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, của đồ thị hàm số và bài tập vận dụng - Toán 12 chuyên đề

16:29:1410/08/2022

Tìm tiệm cận ngang, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là một trong những bước quan trọng trong việc giải bài toán khảo sát hàm số, đôi khi đây cũng là một dạng bài tập xuất hiện độc lập trong đề thi THPT quốc gia.

Vậy cách tìm tiệm cận ngang, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số như thế nào? cùng HayHocHoi tìm hiểu qua bài viết dưới đây và vận dụng giải một số bài tập minh hoạ.

» Đừng bỏ lỡ: Các dạng bài tập về tính đơn điệu của hàm số cực hay

I. Các tìm tiệm cận ngang, tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

1. Cách tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng có dạng (a; +∞); (-∞; -b) hoặc (-∞; +∞)).

• Định nghĩa: Đường thẳng y = y₀ là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$\small \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=y_0;\: \lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=y_0$

Như vậy để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ta chỉ cần tính giới hạn của hàm số đó tại vô cực.

hayhochoi vn

2. Cách tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

• Định nghĩa: Đường thẳng x = x₀ được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn

$\small \lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}=+\infty ;\: \lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}=-\infty$

$\small \lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}=+\infty ;\: \lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}=-\infty$

• Xét hàm số: $\small y=f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ là hàm số phân thức hữu tỉ

- Nếu Q(x) = 0 có nghiệm là x₀, và x₀ không là nghiệm của P(x) = 0 thì đồ thị có tiệm cận đứng là x = x₀.

- Nếu bậc P(x) ≤ bậc Q(x) thì đồ thị có tiện cận ngang.

II. Bài tập tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

* Bài tập 1: Tìm tiện cận đứng và tiện cận ngang của đồ thị hàm số sau:

$\dpi{100} \small y=\frac{3x^2-4x+1}{x^2-1}$

* Lời giải:

- TXĐ: D = R\{±1}

- Ta có:

$\dpi{100} \small \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{3x^2-4x+1}{x^2-1}=3$ ; $\dpi{100} \small \lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{3x^2-4x+1}{x^2-1}=3$

Suy ra: Đường thẳng y = 3 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

- Lại có:

$\small \lim_{x\rightarrow -1^+ }\frac{3x^2-4x+1}{x^2-1}= \lim_{x\rightarrow -1^+ }\frac{(x-1)(3x-1)}{(x-1)(x+1)}$

$\small = \lim_{x\rightarrow -1^+ }\frac{(3x-1)}{(x+1)}=-\infty$

Suy ra: Đường thẳng x = -1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang là y = 3 và tiệm cận đứng là x = -1.

* Bài tập 2: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số:

$\small y=\frac{\sqrt{5x^2+x+1}}{\sqrt{2x-1}-x}$

* Lời giải:

- Điều kiện xác định: $\small \left\{\begin{matrix} 5x^2+x+1\geq 0\\ 2x-1\geq 0\\ \sqrt{2x-1}-x\neq 0 \end{matrix}\right.$

$\small \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq \frac{1}{2}\\ 2x-1\neq x^2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq \frac{1}{2}\\ x\neq 1 \end{matrix}\right.$

- Ta có: $\small \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{5x^2+x+1}}{\sqrt{2x-1}-x}$

$\small =\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{5+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}}{\sqrt{\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}}-1}=-\sqrt{5}$

Nên đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang: y = -√5.

- Mặt khác: $\small \lim_{x\rightarrow 1^+ }\frac{\sqrt{5x^2+x+1}}{\sqrt{2x-1}-x}=-\infty$ và $\small \lim_{x\rightarrow 1^- }\frac{\sqrt{5x^2+x+1}}{\sqrt{2x-1}-x}=-\infty$

Nên đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là x = 1.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang là y = -√5 và tiệm cận đứng là x = 1.

* Bài tập 3: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số:

$\small \dpi{100} \small y=\frac{2x-1}{x^2+1}$

* Bài tập 4: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số:

$\small y=\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}$

* Bài tập 5: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:

$\small y=\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}$

* Bài tập 6: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:

$\small y=\frac{\sqrt{x^2+x+1}}{x}$

Hy vọng với bài viết về cách tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số toán lớp 12 ở trên giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại phần bình luận dưới bài viết để Hay-Học-Hỏi.Vn ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.

Cách tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, của đồ thị hàm số và bài tập vận dụng - Toán 12 chuyên đề

Tags:

Đánh giá & nhận xét