Cách tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, của đồ thị hàm số và bài tập vận dụng - Toán 12 chuyên đề

Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn chi tiết cách xác định các đường tiệm cận và cung cấp các bài tập minh họa giúp các em học sinh nắm vững kiến thức này.

I. Lý thuyết về tiệm cận của đồ thị hàm số

1. Cách tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Cho hàm số$y = f(x)$xác định trên một khoảng vô hạn (có dạng$(a; +\infty)$, $(-\infty; -b)$hoặc$(-\infty; +\infty)$).

• Định nghĩa:Đường thẳng$y = y_0$làđường tiệm cận ngangcủa đồ thị hàm số$y = f(x)$nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

  $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = y_0 \quad \text{hoặc} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = y_0$$

• Phương pháp:Để tìm tiệm cận ngang,ta tính giới hạn của hàm số đó tại$+\infty$và$-\infty$.

2. Cách tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

• Định nghĩa:Đường thẳng$x = x_0$được gọi làđường tiệm cận đứngcủa đồ thị hàm số$y = f(x)$nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

  $$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \pm\infty \quad \text{hoặc} \quad \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \pm\infty$$

• Xét hàm phân thức hữu tỉ $y = f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$:

  • Nếu$Q(x) = 0$có nghiệm là$x_0$,đồng thời$x_0$không phải là nghiệm của$P(x)$(hoặc không làm triệt tiêu hết mẫu),thì đồ thị có tiệm cận đứng là$x = x_0$.

  • Nếu bậc của tử số$P(x) \le$bậc của mẫu số$Q(x)$thì đồ thị sẽ có tiệm cận ngang.

II. Bài tập vận dụng tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang

Bài tập 1

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số: $y = \frac{3x^2 - 4x + 1}{x^2 - 1}$.

Lời giải:

• Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{\pm 1\}$.

• Tiệm cận ngang:Ta có: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x^2 - 4x + 1}{x^2 - 1} = 3$.$\Rightarrow$Đường thẳng$y = 3$là tiệm cận ngang.

• Tiệm cận đứng:Ta có: $\lim_{x \to -1^+} \frac{3x^2 - 4x + 1}{x^2 - 1} = \lim_{x \to -1^+} \frac{(x - 1)(3x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \lim_{x \to -1^+} \frac{3x - 1}{x + 1} = -\infty$.$\Rightarrow$Đường thẳng$x = -1$là tiệm cận đứng (tại$x = 1$giới hạn hữu hạn nên không là tiệm cận đứng).

• Kết luận:Tiệm cận ngang$y = 3$,tiệm cận đứng$x = -1$.

Bài tập 2

Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số: $y = \frac{\sqrt{5x^2 + x + 1}}{\sqrt{2x - 1} - x}$.

Lời giải:

• Điều kiện xác định: $x \ge \frac{1}{2}$và$x \neq 1$.

• Tiệm cận ngang:$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{5x^2 + x + 1}}{\sqrt{2x - 1} - x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{5 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}}{\sqrt{\frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}} - 1} = -\sqrt{5}$.$\Rightarrow$Tiệm cận ngang: $y = -\sqrt{5}$.

• Tiệm cận đứng:$\lim_{x \to 1^+} y = -\infty$và$\lim_{x \to 1^-} y = -\infty$.$\Rightarrow$ Tiệm cận đứng: $x = 1$.

• Kết luận: Tiệm cận ngang $y = -\sqrt{5}$, tiệm cận đứng $x = 1$.

Bài tập luyện tập bổ sung

Các em có thể tự vận dụng phương pháp trên để giải các bài tập sau:

• Bài tập 3: $y = \frac{2x - 1}{x^2 + 1}$

• Bài tập 4: $y = \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

• Bài tập 5: $y = \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1}$

• Bài tập 6: $y = \frac{\sqrt{x^2 + x + 1}}{x}$