Tích có hướng của 2 vectơ trong không gian Oxyz: Công thức và Bài tập ứng dụng - Toán 12 chuyên đề

Bài viết này sẽ giúp các em củng cố lý thuyết và thành thạo các dạng bài tập ứng dụng quan trọng.

I. Công thức tính tích có hướng của 2 vectơ

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u}=(a_1;b_1;c_1)$ và $\vec{v}=(a_2;b_2;c_2)$. Tích có hướng của hai vectơ này, ký hiệu là $[\vec{u}, \vec{v}]$, là một vectơ được xác định theo công thức sau:

Khai triển định thức, ta có tọa độ cụ thể:

Ví dụ minh họa: Cho $A(-1; 2; 1)$, $B(1; 1; 1)$ và $C(0; 3; 2)$. Tính tích có hướng của $\vec{a} = \vec{AB}$ và $\vec{b} = \vec{BC}$.

Lời giải:

• Ta tính tọa độ các vectơ: $\vec{AB} = (2; -1; 0)$ và $\vec{BC} = (-1; 2; 1)$.

• Áp dụng công thức:

  $[\vec{AB}, \vec{BC}] = \left( \left| \begin{matrix} -1 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right|; \left| \begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{matrix} \right|; \left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right| \right) = (-1; -2; 3)$.

II. Bài tập ứng dụng tính diện tích và thể tích

1. Tính diện tích tứ giác (Hình bình hành)

Bài tập 1: Cho 4 điểm $A(1;1;1), B(2;3;4), C(6;5;2)$ và $D(7;7;5)$. Tính diện tích tứ giác $ABCD$.

Lời giải:

• Ta có $\vec{AB} = (1; 2; 3)$ và $\vec{DC} = (1; 2; 3)$. Vì $\vec{AB} = \vec{DC}$ nên $ABCD$ là hình bình hành.

• Diện tích hình bình hành: $S_{ABCD} = \left| [\vec{AB}, \vec{AD}] \right|$.

• Với $\vec{AD} = (6; 6; 4)$, ta tính được $[\vec{AB}, \vec{AD}] = (-10; 14; -6)$.

• $S_{ABCD} = \sqrt{(-10)^2 + 14^2 + (-6)^2} = \sqrt{332} = 2\sqrt{83}$ (đơn vị diện tích).

2. Tính thể tích khối tứ diện

Bài tập 2: Cho $A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0), D(1;2;1)$. Tính thể tích tứ diện $ABCD$.

Lời giải:

• Công thức thể tích tứ diện: $V_{ABCD} = \frac{1}{6} \left| \vec{AD} \cdot [\vec{AB}, \vec{AC}] \right|$.

• Tính các vectơ: $\vec{AD}=(-1;3;-5), \vec{AB}=(-5;0;-10), \vec{AC}=(3;0;-6)$.

• Tích có hướng $[\vec{AB}, \vec{AC}] = (0; -60; 0)$.

• Tích hỗn tạp: $\vec{AD} \cdot [\vec{AB}, \vec{AC}] = (-1)(0) + 3(-60) + (-5)(0) = -180$.

• Vậy $V_{ABCD} = \frac{1}{6} | -180 | = 30$.

3. Tính thể tích khối hộp

Bài tập 3: Cho $A(1;2;1), B(2;-1;1), D(1;0;0), A'(0;1;0)$. Tính thể tích khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$.

Lời giải:

• Công thức: $V_{hộp} = \left| [\vec{AB}, \vec{AD}] \cdot \vec{AA'} \right|$.

• Tọa độ các vectơ: $\vec{AA'}=(-1;-1;-1), \vec{AB}=(1;-3;0), \vec{AD}=(0;-2;-1)$.

• Tính $[\vec{AB}, \vec{AD}] = (3; 1; -2)$. Tích hỗn tạp bằng $-2$.

• Kết luận: $V_{hộp} = |-2| = 2$.

4. Tính thể tích khối lăng trụ tam giác

Bài tập 4: Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có $A(1;-2;-2), B(0;0;-3), C(-1;0;6), A'(2;3;-1)$. Tính thể tích khối lăng trụ.

Lời giải:

• Công thức: $V_{lăng trụ} = \frac{1}{2} \left| [\vec{AB}, \vec{AC}] \cdot \vec{AA'} \right|$.

• Các vectơ: $\vec{AA'}=(1;5;1), \vec{AB}=(-1;2;-1), \vec{AC}=(-2;2;8)$.

• Tính $[\vec{AB}, \vec{AC}] = (18; 10; 2)$. Tích hỗn tạp bằng $70$.

• Kết luận: $V_{lăng trụ} = \frac{70}{2} = 35$.