Cách tìm cực trị của hàm số bậc 3 (tìm cực đại, cực tiểu của hàm số bậc 3) - Toán 12 chuyên đề

Bài viết này sẽ hướng dẫn các em chi tiết phương pháp giải, điều kiện tồn tại cực trị và các ví dụ minh họa cụ thể.

I. Cách tìm cực trị của hàm số bậc 3 (Tìm cực đại, cực tiểu)

Xét hàm số bậc ba tổng quát:

Cách 1: Sử dụng bảng biến thiên

• Bước 1: Tìm tập xác định (TXĐ): $D = \mathbb{R}$.

• Bước 2: Tính đạo hàm $y' = 3ax^2 + 2bx + c$. Giải phương trình $y' = 0$ để tìm các nghiệm (nếu có).

• Bước 3: Lập bảng biến thiên.

• Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận các điểm cực đại, cực tiểu và giá trị cực trị tương ứng.

Lưu ý quan trọng về số lượng cực trị:

Xét biệt thức của đạo hàm $y'=0$ là $\Delta' = b^2 - 3ac$:

• $\Delta' \leq 0$: Đạo hàm $y'$ không đổi dấu $\Rightarrow$ Hàm số không có cực trị.

• $\Delta' > 0$: Đạo hàm $y'$ đổi dấu 2 lần qua các nghiệm phân biệt $\Rightarrow$ Hàm số có 2 cực trị (bao gồm 1 cực đại và 1 cực tiểu).

Cách 2: Sử dụng đạo hàm cấp hai

• Bước 1: Tìm tập xác định $D = \mathbb{R}$.

• Bước 2: Tính $f'(x)$ và giải phương trình $f'(x) = 0$ để tìm các nghiệm $x_i$.

• Bước 3: Tính đạo hàm cấp hai $f''(x)$ và giá trị $f''(x_i)$ tại các nghiệm vừa tìm.

• Bước 4: Biện luận dựa trên dấu của $f''(x_i)$:

  • Nếu $f''(x_i) < 0 \Rightarrow x_i$ là điểm cực đại.

  • Nếu $f''(x_i) > 0 \Rightarrow x_i$ là điểm cực tiểu.

II. Ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ 1: Tìm điểm cực trị của hàm số $f(x) = x^3 - 3x$

Lời giải:

Theo Cách 1:

• TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

• Đạo hàm: $f'(x) = 3x^2 - 3$.

• Giải $f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = 1$.

• Bảng biến thiên:

Kết luận:

• Hàm số đạt cực đại tại $x = -1$, giá trị cực đại $y_{CĐ} = 2$. Điểm cực đại là $(-1; 2)$.

• Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$, giá trị cực tiểu $y_{CT} = -2$. Điểm cực tiểu là $(1; -2)$.

Theo Cách 2:

• $f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow x_1 = -1, x_2 = 1$.

• $f''(x) = 6x$.

• $f''(x_1) = f''(-1) = -6 < 0 \Rightarrow x_1 = -1$ là điểm cực đại.

• $f''(x_2) = f''(1) = 6 > 0 \Rightarrow x_2 = 1$ là điểm cực tiểu.

Ví dụ 2: Tìm cực trị của hàm số $y = 2x^3 + 3x^2 - 36x - 10$

Lời giải:

• TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

• Đạo hàm: $y' = 6x^2 + 6x - 36$.

• Giải $y' = 0 \Leftrightarrow x = 2$ hoặc $x = -3$.

• Bảng biến thiên:

- Từ bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số đạt cực đại tại x = -3 ; y_CĐ = 71

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; y_CT = -54.

Theo Cách 2:

• TXĐ: D = R
• Ta có: y' = 6x² + 6x - 36
•  y' = 0 ⇔ 6x² + 6x - 36 = 0 ⇔ x₁ = -3 và x₂ = 2
• Lại có: y'' = 12x + 6, nên có:
•  y''(x₁) = y''(-3) = 12.(-3) + 6 = -30<0 ⇒ x₁ = -3 là điểm cực đại, y_CĐ = 71.
•  y''(x₂) = y''(2) = 12.2 + 6 = 30>0 ⇒ x₂ = 2 là điểm cực tiểu, y_CT = -54.