Hotline 0936685849

Các dạng bài tập về Cực trị (Cực đại, Cực tiểu) của hàm số và cách giải - Toán lớp 12

11:35:4511/06/2020

Cực trị của hàm số là một trong những chủ đề quan trọng nhất của chương trình Toán 12, đặc biệt thường xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia. Bài viết này sẽ hệ thống lại toàn bộ kiến thức, phương pháp giải và các dạng bài tập phổ biến về cực trị.

I. Lý thuyết về cực trị của hàm số

1. Định nghĩa cực trị hàm số:

- Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (a có thể là −∞, b có thể là +∞) và điểm x₀ ∈ (a;b).

a) Nếu tồn tại số h>0 sao cho f(x)<f(x₀) với mọi x ∈ (x₀ - h; x₀ + h) và x ≠ x₀ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x₀.

b) Nếu tồn tại số h>0 sao cho f(x)>f(x₀) với mọi x ∈ (x₀ - h; x₀ + h) và x ≠ x₀ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x₀.

* Chú ý:

• Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x₀ thì:

x₀ được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số.

f(x₀) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, ký hiệu: f_CĐ (f_CT)

M(x₀;f(x₀)) gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị.

• Các điểm cực đại và cực tiểu gọi chung là điểm cực trị

Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và gọi chung là cực trị của hàm số.

• Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x₀ thì f'(x₀) = 0.

2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

• Khi f'(x) đổi dấu từ dương sang âm qua x = c thì x = c được gọi là điểm cực đại của hàm số.

• Khi f'(x) đổi dấu từ âm sang dương qua x = c thì x = c được gọi là điểm cực tiểu của hàm số.

3. Cách tìm cực trị (Quy tắc tìm cực trị) của hàm số

Quy tắc tìm cực trị 1:

- Bước 1: Tìm tập xác định

- Bước 2: Tính f'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.

- Bước 3: Lập bảng biến thiên

- Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra cực trị

Quy tắc tìm cực trị 2:

- Bước 1: Tìm tập xác định

- Bước 2: Tính f'(x). Giải phương trình f'(x) = 0 tìm các nghiệm x_i (i=1,2,...)

- Bước 3: Tính f''(x) và tính các giá trị f''(x_i)

- Bước 4: Dựa vào dấu của f''(x_i) suy ra tính chất cực trị tại x_i.

• Xem thêm: Các dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số cực hay

II. Các dạng bài tập về cực trị

° Dạng 1: Xác định điểm cực trị, tìm điểm cực trị của hàm số

Ví dụ 1: Áp dụng Quy tắc 1, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) y = 2x³ + 3x² - 36x - 10

b) y = x⁴ + 2x² - 3

c) $small y= x+frac{1}{x}$

d) y = x³(1 - x)²

e) $small y=sqrt{x^2-x+1}$

Lời giải:

a) y = 2x³ + 3x² - 36x - 10

- TXĐ: D = R

- Ta có y' = 6x² + 6x - 36

- Cho y' = 0 ⇔ 6x² + 6x - 36 = 0 ⇔ x = -3 hoặc x = 2

- Bảng biến thiên:

bài 1 câu a trang 18 sgk toán giải tích 12

- Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại x = -3 ; y_CĐ = 71; và đạt cực tiểu tại x = 2; y_CT = -54.

b) y = x⁴ + 2x² - 3

- TXĐ: D = R

- Ta có: y'= 4x³ + 4x = 4x(x² + 1);

- Cho y' = 0 ⇔ 4x(x² + 1) = 0 ⇔ x = 0

- Bảng biến thiên:

bài 1 câu b trang 18 sgk toán giải tích 12

- Kết luận: Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; y_CT = -3; Hàm số không có điểm cực đại.

c) $small y= x+frac{1}{x}$

- TXĐ: D = R{0}

- Ta có: $small y'=1-frac{1}{x^2}=0Leftrightarrowleft [egin{matrix} x=1\ x=-1 end{matrix} ight.$

- Bảng biến thiên:

bài 1 câu c trang 18 sgk toán giải tích 12

- Kết luận: Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1; y_CĐ = -2; và đạt cực tiểu tại x = 1; y_CT = 2.

d) y = x³(1 - x)²

- TXĐ: D = R

- Ta có: y'= (x³)’.(1 – x)² + x³.[(1 – x)²]’

= 3x²(1 – x)² + x³.2(1 – x)(1 – x)’

= 3x²(1 – x)² - 2x³(1 – x)

= x²(1 – x)(3 – 5x)

- Cho y' = 0 ⇔ x²(1 – x)(3 – 5x) = 0 ⇔ x = 0; x = 1 hoặc x = 3/5

- Bảng biến thiên:

bài 1 câu d trang 18 sgk toán giải tích 12

- Kết luận: Vậy hàm số đạt cực đại tại $small x=frac{3}{5};y_{CD}=frac{108}{3125}$ và đạt cực tiểu tại x = 1; y_CT = 0.

* Lưu ý: x = 0 không phải là cực trị vì tại điểm đó đạo hàm bằng 0 nhưng đạo hàm không đổi dấu khi đi qua x = 0.

e) $small y=sqrt{x^2-x+1}$

- TXĐ: D=R

- Ta có: $small y'=frac{2x-1}{sqrt{x^2-x+1}}=0Leftrightarrow x=frac{1}{2}$

- Bảng biến thiên:

bài 1 câu e trang 18 sgk toán giải tích 12

- Kết luận: Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $small x=frac{1}{2};y_{CT}=frac{sqrt{3}}{2}$

Ví dụ 2: Áp dụng Quy tắc 2, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) y = x⁴ - 2x² + 1

b) y = sin2x – x

c) y = sinx + cosx

d) y = x⁵ - x³ - 2x + 1

Lời giải:

a) y = x⁴ - 2x² + 1

- TXĐ: D = R.

- Ta có: y' = 4x³ - 4x = 0 ⇔ 4x(x² – 1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±1.

- Ta có: y" = 12x² - 4. Tính y'' tại các điểm x = 0 và x = ±1.

y"(0) = -4 < 0 ⇒ x = 0 là điểm cực đại của hàm số, y_CĐ = 1

y"(1) = 8 > 0 ⇒ x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số, y_CT = 0

y"(-1) = 8 > 0 ⇒ x = -1 là điểm cực tiểu của hàm số, y_CT = 0

b) y = sin2x – x

- TXĐ: D = R

- Ta có: y' = 2cos2x – 1 = 0

$small Leftrightarrow cos2x=frac{1}{2}Leftrightarrow 2x=pm frac{pi }{3}+k2pi$ $small Leftrightarrow x=pm frac{pi }{6}+kpi ,(kin mathbb{Z})$

- Ta có: y'' = -4sin2x. Tính y'' tại $small x=pm frac{pi }{6}+kpi$

$small y''left ( frac{pi }{6}+kpi ight )=-4.sinleft (frac{pi }{3}+k2pi ight )=-2sqrt{3}<0,(kin mathbb{Z})$

$small Rightarrow x=frac{pi }{6}+kpi ,(kin mathbb{Z})$ là các điểm cực đại của hàm số

$small y''left ( -frac{pi }{6}+kpi ight )=-4.sinleft (-frac{pi }{3}+k2pi ight )=2sqrt{3}>0,(kin mathbb{Z})$

$small Rightarrow x=-frac{pi }{6}+kpi ,(kin mathbb{Z})$ là các điểm cực tiểu của hàm số

c) y = sinx + cosx

- TXĐ: D=R

- Ta có: y' = cosx - sinx = 0

$small Leftrightarrow sqrt{2}cosleft ( x+frac{pi }{4} ight )=0 Leftrightarrow x+frac{pi }{4}=frac{pi }{2}+kpi$

$small Leftrightarrow x=frac{pi }{4}+kpi,(kin mathbb{Z})$

- Ta có: $small y''=-sinx-cosx=-sqrt{2}cosleft (x-frac{pi }{4} ight )$

$small y''left (frac{pi }{4}+kpi ight )=-sqrt{2}sinleft ( frac{pi }{4}+kpi+frac{pi }{4} ight )$

$small =-sqrt{2}sinleft ( frac{pi }{2}+kpi ight )=left [egin{matrix} -sqrt{2};k=2n\ sqrt{2};k=2n+1 end{matrix} ight.;nin mathbb{Z}$

- Kết luận: Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm $small x=frac{pi }{4}+k2pi$ và đạt cực tiểu tại các điểm $small x=frac{pi }{4}+(2k+1)pi,(kin mathbb{Z})$

d) y = x⁵ - x³ - 2x + 1

- TXĐ: D = R

- Ta có: y'= 5x⁴ - 3x² - 2 = 0

⇔ (x² - 1)(5x² + 2) = 0

⇔ x² - 1 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = -1

- Ta có: y" = 20x³ - 6x

y"(-1) = -20 + 6 = -14 < 0

⇒ x = -1 là điểm cực đại của hàm số.

y"(1) = 20 – 6 = 14 > 0

⇒ x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

* Nhận xét: Theo kinh nghiệm thì các hàm vô tỉ thông thường các em nên áp dụng quy tắc 1, còn đối với các hàm

° Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị (Tìm m để hàm có có cực đại, cực tiểu).

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số

y = x³ - mx² - 2x + 1; luôn luôn có một cực đại và một điểm cực tiểu.

Lời giải:

- TXĐ: D = R

- Ta có: y' = 3x² - 2mx – 2 = 0

$small Leftrightarrow 3x^2-2mx-2=0Leftrightarrow left [egin{matrix} x=frac{m-sqrt{m^2+6}}{3}\ x=frac{m+sqrt{m^2+6}}{3} end{matrix} ight.$

- Ta có: y’’ = 6x – 2m.

$small y''left ( frac{m-sqrt{m^2+6}}{3} ight )=-2sqrt{m^2+6}<0$

$small Rightarrow x= frac{m-sqrt{m^2+6}}{3}$ là điểm cực đại của hàm số.

$small y''left ( frac{m+sqrt{m^2+6}}{3} ight )=2sqrt{m^2+6}>0$

$small Rightarrow x= frac{m+sqrt{m^2+6}}{3}$ là điểm cực tiểu của hàm số

- Kết luận: Vậy hàm số luôn có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu với mọi giá trị của m.

Ví dụ 2: Xác định giá trị của tham số m để hàm số m để hàm số $small y=frac{x^2+mx+1}{x+m}$ đạt giá trị cực đại tại x = 2.

Lời giải:

a) TXĐ: D=R{-m}

$small y=frac{x^2+mx+1}{x+m}$ $=x+\frac{1}{x+m}$

$small Rightarrow y'=1-frac{1}{(x+m)^2}=0$ small Leftrightarrow (x+m)^2=1Leftrightarrow x=-mpm 1

* Cách 1 (áp dụng quy tắc 1):

- Ta có bảng biến thiên sau:

bài 6 trang 18 sgk toán giải tích 12

- Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = -m – 1, mà theo bài ra hàm số đạt cực đại tại x = 2, nên ta có: -m – 1 = 2 ⇔ m = -3 ⇒ y_CT = 1

* Cách 2 (áp dụng quy tắc 2):

- Tính y'', có: $small y''=frac{2(x+m)}{(x+m)^4}=frac{2}{(x+m)^3}$

- Hàm số đạt cực đại tại $small x=2Leftrightarrow left{egin{matrix} y'(2)=0\ y''(2)<0 end{matrix} ight.$

+) $small y''(2)<0Leftrightarrow frac{2}{(2+m)^3}<0$

small Leftrightarrow (2+m)^3<0Leftrightarrow 2+m<0Leftrightarrow m<-2

+) $small y'(2)=0Leftrightarrow 1-frac{1}{(2+m)^2}=0$

$small Leftrightarrow (2+m)^2=1Leftrightarrow left [egin{matrix} m=-1\ m=-3 end{matrix} ight.$

- Đối chiếu điều kiện ta thấy m=-1 (loại), m=-3 (thỏa mãn)

- Với m=-3 ⇒ y_CT = 1

° Dạng 3: Tìm điều kiện để hàm số đã cho có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước

Ví dụ 1: Tìm a và b để các cực trị của hàm số

$small y=frac{5}{3}a^2x^3+2ax^2-9x+b$ đều là những số dương và x_o = -5/9 là điểm cực đại.

Lời giải:

- TXĐ: D = R.

- Ta có: y’ = 5a²x² + 4ax – 9.

⇒ y’’ = 10a²x + 4a.

¤ Nếu a = 0 thì y’ = -9 < 0 với ∀ x ∈ R

⇒ Hàm số không có cực trị (loại)

¤ Nếu a ≠ 0 ta có: y’ = 5a²x² + 4ax – 9 = 0

small Leftrightarrow 5(ax)^2+4(ax)-9=0

$small Leftrightarrow left [egin{matrix} ax=1\ ax=-frac{9}{5} end{matrix} ight. Leftrightarrow left [egin{matrix} x=frac{1}{a}\ x=frac{-9}{5a} end{matrix} ight.$

- Ta có: $small y''left ( frac{1}{a} ight )=14a;y''left ( frac{-9}{5a} ight )=-14a$

- Theo yêu cầu bài ra, thì hàm số đạt cực đại tại x₀ = -5/9:

$small Leftrightarrow left{egin{matrix} y'(frac{-5}{9})=0\ y''left ( frac{-5}{9} ight )<0 end{matrix} ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} 5a^2.left (frac{-5}{9} ight )^2+4a.left ( frac{-5}{9} ight )-9=0\ 10a^2.left ( frac{-5}{9} ight )+4a<0 end{matrix} ight.$

$small Leftrightarrow left{egin{matrix} frac{125a^2}{81}-frac{20a}{9}=0\ -frac{50a^2}{9}+4a<0 end{matrix} ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} a=frac{81}{25}vee a=frac{-9}{5}\ a<0vee a>frac{18}{25} end{matrix} ight.$ $Leftrightarrow left [egin{matrix} a=frac{81}{25}\ a=-frac{9}{5} end{matrix} ight.$

- Hàm số đã cho có cực trị đều dương ⇔ y_CT > 0.

» Với $small a=frac{81}{25}Rightarrow x_1=frac{25}{81};x_2=-frac{5}{9}$ , do đó:

$small y_{CT}=yleft ( frac{25}{81} ight )$ $small =frac{5}{3}.left (frac{81}{25} ight )^2.left ( frac{25}{81} ight )^3+2.frac{81}{25}.left ( frac{25}{81} ight )^2-9.frac{81}{25}+b$ $small Leftrightarrow b>frac{400}{243}$

» Với $small a=frac{-9}{5}Rightarrow x_1=frac{-5}{9};x_2=1$ , do đó:

$small y_{CT}=y(1)$ $small =frac{5}{3}.left ( -frac{9}{5} ight )^2.1^3+2.left ( -frac{9}{5} ight ).1^2-9.1+b>0$ $small Leftrightarrow b>frac{36}{5}$

- Kết luận: Vậy các giá trị a,b cần tìm là: $left{egin{matrix} a=-frac{9}{5}\ b>frac{36}{5} end{matrix} ight.$ hoặc $left{egin{matrix} a=frac{81}{25}\ b>frac{400}{243} end{matrix} ight.$

Ví dụ 2: Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x⁴ - 8m²x² + 3 có 3 điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân.

Lời giải:

- TXĐ: D=R

- Ta có: y' = 4x(x² - 4m²)

- Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ 0.

- Khi đó, các điểm cực trị là A(2m;-16m²+3); B(0;3); C(-2m;-16m²+3)

Nên BC = BA, tam giác ABC cân tại B. Để tam giác ABC vuông cân thì:

$small overrightarrow{BC}.overrightarrow{BA}=0Leftrightarrow 4m^2-256m^4=0$

small Leftrightarrow 4m^2(1-64m^2)=0Leftrightarrow 1-64m^2=0,(m
eq 0)

$small Leftrightarrow (1-8m)(1+8m)=0Leftrightarrow left [egin{matrix} m=frac{1}{8}\ m=-frac{1}{8} end{matrix} ight.$

- Kết luận: Với m = ±1/8 thì hàm số trên có 3 điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân.

Các bài toán về cực trị của hàm số đòi hỏi bạn phải nắm vững lí thuyết đạo hàm và các quy tắc tìm cực trị. Việc kết hợp linh hoạt giữa các phương pháp đại số và hình học (đặc biệt khi có tham số) sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và chính xác.

Đánh giá & nhận xét

Nguyễn Hoàng Anh Tú

x1 x2 của vd1 dạng 3 là nghiệm của phương trình nào ạ

Trả lời -

05/08/2022 - 16:54

Admin

Chào em, là nghiệm của y' nhé em (đạo hàm bậc 1 của hàm số bậc 3)

09/08/2022 - 11:06

nguyễn thị giang

cho em xin file với ạ

Trả lời -

20/03/2022 - 08:25

Admin

Chào em, nội dung này em chịu khó xem trên website nhé, chúc em nhiều thành công !

24/03/2022 - 18:40

le duy

ad ch e hỏi câu e s x ra 1/2 ạ

Trả lời -

05/08/2021 - 19:25

Minh

Add giải thích cho e câu cuối vs, chỗ 3 điểm cực trị ấy, điểm a và điểm c e ra khác ạ, A(2m;-8m^4 +3); điểm C(-2m;-8m^4+3); B0;3)

Trả lời -

18/10/2020 - 08:34

Admin

Em thay x = 2m và x = -2m vào hàm số y = x^4 - 8m^2x^2 + 3 được y = (2m)^4 - 8m^2.(2m)^2 + 3 = 16m^4 - 32m^4 + 3 = -16m^4 + 3 tương tự x = -2m cũng được y = -16m^4 + 3 nhé.

20/10/2020 - 10:58