Các dạng bài tập phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - Đầy đủ, chi tiết, cập nhật mới 2026

Bài viết này sẽ hệ thống lại toàn bộ lý thuyết và giải mã các dạng bài tập từ cơ bản đến vận dụng, giúp các em tự tin chinh phục kỳ thi THPT Quốc gia 2026.

I. Lý thuyết về mặt cầu và phương trình mặt cầu

1. Định nghĩa mặt cầu

Trong không gian, tập hợp các điểm $M$ cách điểm $O$ cố định một khoảng không đổi $R$ ($R > 0$) được gọi là mặt cầu tâm $O$, bán kính $R$.

2. Các dạng phương trình mặt cầu

• Dạng chính tắc: Mặt cầu có tâm $O(a; b; c)$ và bán kính $R$ có phương trình:

  $$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$$

• Dạng tổng quát: $x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$

  • Điều kiện là mặt cầu: $a^2 + b^2 + c^2 - d > 0$.

  • Tâm: $O(a; b; c)$, Bán kính: $R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}$.

3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu $S(O; R)$ và mặt phẳng $(P)$. Gọi $d = d(O; (P))$ là khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng.

• $d > R$: Mặt phẳng và mặt cầu không có điểm chung.

• $d = R$: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại tiếp điểm $H$. Khi đó $(P)$ được gọi là tiếp diện.

• $d < R$: Mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính $r = \sqrt{R^2 - d^2}$.

Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

4. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng

Cho mặt cầu $S(O; R)$ và đường thẳng $\Delta$. Gọi $h = d(O; \Delta)$.

• $h > R$: Đường thẳng không cắt mặt cầu.

• $h = R$: Đường thẳng tiếp xúc mặt cầu (tiếp tuyến).

• $h < R$: Đường thẳng cắt mặt cầu tại 2 điểm $A, B$. Khi đó $AB = 2\sqrt{R^2 - h^2}$.

vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu

* Lưu ý: Trong trường hợp Δ cắt (S) tại 2 điểm A, B thì bán kính R của (S) được tính như sau:

  d[O,Δ] = OH, lúc đó:$R=\sqrt{OH^{2}+AH^{2}}=\sqrt{OH^{2}+\left (\frac{AB}{2} \right )^{2}}$

5. Đường tròn trong không gian Oxyz (Giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng)

Trong không gian Oxyz, đường tròn $(C)$ thường được xác định là giao tuyến của mặt cầu $(S)$ và mặt phẳng $(P)$ khi khoảng cách $d(O, (P)) < R$.

• Xác định tâm $O'$ của đường tròn: Tâm $O'$ là hình chiếu vuông góc của tâm mặt cầu $O$ lên mặt phẳng $(P)$.

  • Cách tìm: Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $O$ và vuông góc với $(P)$. Khi đó $O'$ chính là giao điểm của $d$ và $(P)$.

• Bán kính đường tròn ($r$): Được tính theo công thức Pitago:

  $$r = \sqrt{R^2 - d^2(O, (P))}$$

6. Điều kiện tiếp xúc (Tiếp tuyến và Tiếp diện)

Đây là phần kiến thức trọng tâm để giải các bài toán vận dụng cao về cực trị và vị trí tương đối.

• Đường thẳng $\Delta$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$:

  • Điều kiện: Khoảng cách từ tâm $O$ đến đường thẳng $\Delta$ bằng bán kính $R$.

    $$d(O, \Delta) = R$$

• Mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$:

  • Điều kiện: Khoảng cách từ tâm $O$ đến mặt phẳng $(P)$ bằng bán kính $R$.

    $$d(O, (P)) = R$$

• Tìm tiếp điểm $M_0$: Tiếp điểm $M_0$ là hình chiếu của tâm $O$ lên đường thẳng hoặc mặt phẳng đó. Ta có vectơ $OM_0$ cùng phương với vectơ pháp tuyến $\vec{n}_P$ (đối với mặt phẳng) hoặc vuông góc với vectơ chỉ phương $\vec{u}_{\Delta}$ (đối với đường thẳng).

II. Các dạng bài tập phương trình mặt cầu thường gặp

Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính

Phương pháp 1: Viết PT mặt cầu dạng chính tắc

•  Bước 1: Xác định tâm O(a; b; c).
•  Bước 2: Xác định bán kính R của (S).
•  Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm O(a; b; c) và bán kính R là: (S): (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²

Phương pháp 2: Viết phương trình mặt cầu dạng tổng quát

•  Gọi phương trình (S) : x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 
•  Phương trình (S) hoàn toàn xác định nếu biết được a, b, c, d với  a² + b² + c² - d > 0.

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau:

1. (S) có tâm O(2; 2; -3) và bán kính R = 3.

2. (S) có tâm O(1; 2; 0) và (S) qua P(2; -2; 1)

3. (S) có đường kính AB với A(1; 3; 1) và B(-2; 0; 1)

Lời giải:

1. (S) có tâm O(2; 2; -3) và bán kính R = 3. có phương trình là:

  (x - 2)² + (y - 2)² + (z + 3)² = 9

2. (S) có tâm O(1; 2; 0) và (S) qua P(2; -2; 1)

- Ta có: $\overrightarrow{OP}=(1;-4;1)$ $\Rightarrow OP=\sqrt{1^{2}+(-4)^{2}+1^{2}}=3\sqrt{2}$

- Mặt cầu tâm O(1; 2; 0) bán kính R = OP = 3√2 có phương trình:

  (x - 1)² + (y - 2)² + z² = 18

3. (S) có đường kính AB với A(1; 3; 1) và B(-2; 0; 1)

- Ta có: $\overrightarrow{AB}=(-3;-3;0)\Rightarrow AB=3\sqrt{2}$

- Gọi O là trung điểm của AB ⇒ $O\left ( -\frac{1}{2};\frac{3}{2};1 \right )$

- Mặt cầu tâm $O\left ( -\frac{1}{2};\frac{3}{2};1 \right )$ và bán kính $R=\frac{AB}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$ có phương trình:

$\left ( x+\frac{1}{2} \right )^{2}+\left ( y-\frac{3}{2} \right )^{2}+(z-1)^{2}=\frac{9}{2}$

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu (S), biết (S) qua A(3; 1; 0) , B(5; 5; 0) và tâm I thuộc trục Ox.

Lời giải:

Gọi I(a; 0 ; 0) ∈ Ox, ta có: 

$\overrightarrow{IA}=(3-a;1;0),\overrightarrow{IB}=(5-1;5;0)$

- Vì (S) đi qua A, B nên ⇒ IA = IB 

$\Leftrightarrow \sqrt{\left ( 3-a \right )^{2}+1}=\sqrt{\left ( 5-a \right )^{2}+25}$

$\Leftrightarrow 4a=40 \Leftrightarrow a=10$

⇒ I(10; 0; 0) và $IA=5\sqrt{2}$

- Mặt cầu tâm I(10; 0; 0) và bán kính $R=5\sqrt{2}$ có phương trình là:

 (x - 10)² + y² + z² = 50

Ví dụ 3: Viết phương trình mặt cầu (S) biết :

1. (S) qua bốn điểm A(1; 2; -4), B(1; -3; 1) , C(2; 2; 3) và D(1; 0 ; 4)

2. (S) qua A(0; 8; 0), B(4; 6; 2) , C(0; 12; 4) và có tâm I thuộc mp (Oyz)

Lời giải:

1. (S) qua bốn điểm A(1; 2; -4), B(1; -3; 1) , C(2; 2; 3) và D(1; 0 ; 4)

Có thể giải theo 2 cách:

Cách 1: Viết pt mặt cầu dạng chính tắc

- Gọi I(a;b;c) là tâm mặt cầu cần tìm, theo giả thiết ta có:

⇒ Mặt cầu (S) có tâm I(-2;1;0) và bán kính $R = IA = \sqrt{26}$ có phương trình là:

 (x+2)² + (y - 1)² + z² = 26

Cách 2: Viết pt mặt cầu dạng tổng quát

- Gọi phương trình mặt cầu có dạng:  x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 , (a² + b² + c² - d > 0).

- Các điểm A, B, C, D đều thuộc mặt cầu (S) nên thay lần lượt vào pt mặt cầu trên ta có hệ:

- Giải hệ pt trên được nghiệm và thay vào pt mặt cầu ta được:

 (x+2)² + (y - 1)² + z² = 26

2. (S) qua A(0; 8; 0), B(4; 6; 2) , C(0; 12; 4) và có tâm I thuộc mp (Oyz)

Do tâm I của mặt cầu nằm trên mặt phẳng (Oyz) nên ta có I(0;b;c)

- Ta lại có: IA = IB = IC 

⇒ Mặt cầu có tâm I(0;7;5) và bán kính   có pt là:

 x² + (y - 7)² + (z - 5)² = 26.

Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu có điều kiện tiếp xúc

Phương pháp: * Tiếp xúc với mặt phẳng $(P) \Rightarrow R = d(O; (P))$.

• Tiếp xúc với đường thẳng $\Delta \Rightarrow R = d(O; \Delta)$.

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu tâm $I(1; -2; 3)$ tiếp xúc với trục $Oy$.

Lời giải:

Hình chiếu của $I$ lên $Oy$ là $M(0; -2; 0)$. Bán kính $R = IM = \sqrt{10}$.

PT: $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 10$.

(Lưu ý: Với các bài tập cụ thể, tâm có thể được ký hiệu là I để tránh trùng với gốc tọa độ O).

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu (S) , trong các trường hợp sau:

1. (S) có tâm O và tiếp xúc mặt phẳng (P): 16x - 15y - 12z + 75 = 0

2. (S) có tâm I(-1; 2; 0) và có một tiếp tuyến là đường thẳng Δ: $\frac{x+1}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{-3}$

Lời giải:

1. Do mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên ta có:

$d\left [ O,(P)\right ]=R\Rightarrow R=\frac{75}{25}=3$

- Mặt cầu tâm O(0; 0; 0) và bán kính R = 3 có phương trình là:

 x² + y² + z² = 9

2. Chọn A(-1; 1; 0) ∈ Δ ⇒ $\overrightarrow{IA}=(0;-1;0)$

- Đường thẳng Δ có VTCP $\overrightarrow{u}_{\Delta }=(-1;1;-3)$ nên ta có:

suy ra: $\left[\overrightarrow{IA},{\overrightarrow{u}_\Delta } \right]=(3;0;-1)$

- Do mặt cầu (S) tiếp xúc với Δ nên d[I,Δ] = R 

$\Rightarrow R=\frac{\left | \left [ \overrightarrow{IA},\overrightarrow{u}_{\Delta } \right ] \right |}{\overrightarrow{u}_{\Delta }}=\frac{\sqrt{10}}{11}$

⇒ Vậy mặt cầu tâm I(-1; 2; 0) và bán kính $R=\frac{\sqrt{10}}{11}$  có phương trình là:

$(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + z^{2} = \frac{10}{121}$

Dạng 3: Bài toán cắt dây cung hoặc thiết diện đường tròn

Phương pháp: Sử dụng mối liên hệ Pitago: $R^2 = d^2 + r^2$.

Ví dụ: Mặt cầu (S) tâm I(2;3;-1) cắt đường thẳng (Δ) : $\frac{x-11}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+25}{-2}$ tại 2 điểm A và B sao cho AB = 16. Viết phương trình của (S).

* Lời giải:

- Đường thẳng (Δ) đi qua điểm M(11;0;-25) có VTCP là $\overrightarrow{u}_{\Delta }=(2;1;-2)$

- Gọi H là hình chiếu của I lên (Δ), vì vậy

- Ta có $\overrightarrow{u}_{\Delta }=(2;1;-2)$, $\overrightarrow{IM}=(9;-3;-24)$  và 

$\left[\overrightarrow{u}_\Delta ,\overrightarrow{IM}\right]=(-30;30;-15)$

⇒ $d[I,AB ]= d[I,\Delta ]=\frac{\left | \overrightarrow{u}_{\Delta },\overrightarrow{IM} \right |}{\left | \overrightarrow{u}_{\Delta } \right |}$ $=\frac{\sqrt{(-30)^{2}+(30)^{2}+(-15)^{2}}}{\sqrt{(2)^{2}+(1)^{2}+(-2)^{2}}}$ $=\frac{\sqrt{2025}}{\sqrt{9}}=\sqrt{225}=15$

⇒  $R=\sqrt{IH^{2}+\left ( \frac{AB}{2} \right )^{2}}=\sqrt{15^{2}+\left ( \frac{16}{2} \right )^{2}}$$=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17$

⇒ Mặt cầu (S) có tâm  I(2;3;-1) và bán kính R = 17 có phương trình là:

 (x - 2)² + (y - 3)² + (z + 1)² = 17² = 289.

Dạng 4: Viết phương trình mặt cầu cắt đường thẳng/mặt phẳng theo thiết diện cho trước