Hotline 0962 782 149

Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12

13:58:0220/04/2019

Hình học không gian luôn có nhiều dạng bài tập 'khó nhằn' đối với nhiều học sinh chúng ta, và các dạng bài tập về phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz cũng không phải ngoại lệ.

HayHocHoi.Vn đã giới thiệu tới các em các dạng toán về phương trình đường thẳng trong không gian, bài tập về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian gần như liên hệ chặt chẽ với nhau. Vì vậy mà trong bài viết này, chúng ta sẽ hệ thống lại các dạng toán về phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz.

» Đừng bỏ lỡ: Các dạng toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz cực hay

I. Sơ lược lý thuyết về phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

- Vec tơ small overrightarrow{n} là vec tơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng (P) nếu giá của ⊥ (P).

- Nếu small overrightarrow{n} là VTPT của (P) thì k cũng là VTPT của (P).

2. Cặp vec tơ chỉ phương của mặt phẳng

- Hai vectơ small overrightarrow{a},overrightarrow{b} không cùng phương là cặp vectơ chỉ phương (VTCP) của (P) nếu các giá của chúng song song hoặc nằm trên (P).

- Nếu small overrightarrow{a},overrightarrow{b} là cặp VTCP của (P) thì small overrightarrow{n}=left [ overrightarrow{a},overrightarrow{b}
ight ] là VTPT của (P).

3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

- Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0 với A² + B² + C² > 0.

• Nếu (P) có PT: Ax + By + Cz + D = 0 thì small small overrightarrow{n}= (A,B,C) là một VTPT của (P).

• Phương trình mặt phẳng đi qua M(x₀, y₀, z₀) và có một VTPT small small overrightarrow{n}= (A,B,C) là: A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0;

* Lưu ý:

- Nếu trong phương trình mặt phẳng (P) không chưa ẩn nào thì (P) song song hoặc chứa trục tương ứng, ví dụ: Phương trình mp (Oyz): x = 0; mp (Oxy) là: z = 0; mp (Oxz) là: y = 0.

- Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, (P) đi qua A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c): $small frac{x}{a}+frac{y}{b}+frac{z}{c}=1$ ,(a.b.c≠0)

4. Khoảng cách từ 1 điểm tới mặt phẳng

- Trong không gian Oxyz cho điểm M(x_M, y_M,z_M) và mp(P): Ax + By + Cz + D = 0. Khi đó khoảng cách từ điểm M tới mp(P) được tính theo công thức:

$small d[M,(P)]=frac{left |Ax_{M}+By_{M}+Cz_{M}+D ight |}{sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$

5. Vị trí tương đối giữa 2 mặt phẳng

- Trong không gian cho mp(P): Ax + By + Cz + D = 0 và mp(Q): A'x + B'y + C'z + D' = 0

◊ (P)≡(Q) ⇔ $small frac{A}{A'}=frac{B}{B'}=frac{C}{C'}=frac{D}{D'}$

◊ (P)//(Q) ⇔ $small frac{A}{A'}=frac{B}{B'}=frac{C}{C'} eq frac{D}{D'}$

◊ (P)∩(Q) ⇔ $small frac{A}{A'} eq frac{B}{B'}$ hoặc $small frac{B}{B'} eq frac{C}{C'}$

◊ (P)⊥(Q) ⇔ small AA'+BB'+CC'=0

6. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

- Trong không gian cho mp(P): Ax + By + Cz + D = 0 và mặt cầu (S): (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R². Để xét vị trí giữ (P) và (S) ta thực hiện như sau:

◊ Bước 1: Tính khoảng cách d từ tâm I của (S) đến (P).

◊ Bước 2: so sánh d với R

° Nếu d[I,(P)]>R thì (P) không cắt (S).

° Nếu d[I,(P)]=R thì (P) tiếp xúc với (S) tại H, khi đó H được gọi là tiếp điểm đồng thời là hình chiếu vuông góc của I lên (P) và (P) được gọi là tiếp diện.

° Nếu d[I,(P)]<R thì (P) cắt (S) theo đường tròn có phương trình (C):

$small left{egin{matrix} Ax + By + Cz + D = 0 (x - a)^{2}+ (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2} end{matrix} ight.$

Bán kính (C) là: $small r^{2}=sqrt{R^{2}-d[I,(P)]}$ , tâm J của (C) là hình chiếu vuông góc của I lên (P).

7. Góc giữa 2 mặt phẳng

- Trong không gian cho mp(P): Ax + By + Cz + D = 0 và mp(Q): A'x + B'y + C'z + D' = 0. Góc giữa (P) và (Q) bằng hoặc bù với 2 VTPT $small dpi{100} fn_cm small overrightarrow{n}_{(P)}$ , $small overrightarrow{n}_{(Q)}$ . Tức là:

$small cosleft ((P),(Q) ight )=left | cos(widehat{overrightarrow{n}_{(P)},overrightarrow{n}_{(Q)}}) ight |$ $small =frac{left | overrightarrow{n}_{(P)}.overrightarrow{n}_{(Q)} ight |}{left | overrightarrow{n}_{(P)} ight |.left | overrightarrow{n}_{(Q)} ight |}$ $small =frac{left | AA'+BB'+CC' ight |}{sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}.sqrt{A'^{2}+B'^{2}+C'^{2}}}$

II. Các dạng toán Phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz.

• Dạng 1: Phương trình mặt phẳng

* Phương pháp

- Phương trình: Ax + By + Cz + D = 0 là phương trình của một mặt phẳng ⇔ A² + B² + C² > 0.

- Chú ý: Đi kèm với họ mặt phẳng (P_m) thường có thêm các câu hỏi phụ:

Câu hỏi 1: Chứng minh rằng họ mặt phẳng (P_m) luôn đi qua một điểm cố định.

Câu hỏi 2: Cho điểm M có tính chất K, biện luận theo vị trí của M số mặt phẳng của họ (P_m) đi qua M.

Câu hỏi 3: Chứng minh rằng họ mặt phẳng (P_m) luôn chứa một đường thẳng cố định.

* Ví dụ: Cho phương trình: mx + m(m - 1)y - (m² - 1)z - 1 = 0. (*)

a) Tìm điều kiện của m để phương trình (*) là phương trình của một mặt phẳng, gọi là họ (P_m).

b) Tìm điểm cố định mà họ (P_m) luôn đi qua.

c) Giả sử (P_m) với m ≠ 0, ±1 cắt các trục toạ độ tại A, B, C.

° Tính thể tích tứ diện OABC.

° Tìm m để ΔABC nhận điểm G(1/9;1/18;1/24) làm trọng tâm.

* Lời giải:

a) Để (*) là PTMP thì: m² + [m(m-1)]² + [-(m²-1)]² > 0

⇔ m² + m²(m-1)² + (m²-1)² > 0

- Ta thấy: $small left{egin{matrix} m^{2}geq 0 m^{2}(m-1)^{2}geq 0 (m^{2}-1)^{2}geq 0 end{matrix} ight.$ nên m² + m²(m-1)² + (m²-1)² ≥ 0 ∀ m,

dấu = xảy ra khi và chỉ khi $small left{egin{matrix} m^{2}=0 m^{2}(m-1)^{2}=0 (m^{2}-1)^{2}= 0 end{matrix} ight.$ hệ này vô nghiệm

nên: m² + [m(m-1)]² + [-(m²-1)]² > 0, ∀ m

⇒ PT (*) là PT mặt phẳng với mọi giá trị của m

b) Để tìm điểm cố định mà họ mặt phẳng (P_m) luôn đi qua ta thực hiện theo các bước:

+ Bước 1: Giả sử M(x₀; y₀; z₀) là điểm cố định của họ (P_m), khi đó Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D = 0, ∀m.

+ Bước 2: Nhóm theo bậc của m rồi cho các hệ số bằng 0, từ đó nhận được (x₀; y₀; z₀).

+ Bước 3: Kết luận.

- Từ PT(*) ta có: mx + m(m - 1)y - (m² - 1)z - 1 = 0

⇔ mx + m²y - my - m²z + z - 1 = 0

⇔ (y - z)m² + (x - y)m + z - 1 = 0

⇒ Điểm mà họ P_m đi qua không phụ thuộc vào m nên ta có:

$small dpi{100} fn_cm small left{egin{matrix} y-z=0 x-y=0 z-1=0 end{matrix} ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} z=1 y=1 x=1 end{matrix} ight.$

⇒ Họ P_m luôn đi qua điểm M(1;1;1).

c) Ta có ngay tọa độ các điểm A,B,C là:

$small Aleft ( frac{1}{m};0;0 ight ),Bleft ( 0;frac{1}{m(m-1)};0 ight ),Cleft (0;0;frac{1}{1-m^{2}} ight )$

- Khi đó thể tích tứ diện OABC được tính theo công thức:

$small V_{OABC}=frac{1}{6}OA.OB.OC$ $small =frac{1}{6}.left | frac{1}{m} ight |.left | frac{1}{m(m-1)} ight |.left | frac{1}{1-m^{2}} ight |$ $small =frac{1}{6m^{2}(m-1)^{2}left | m+1 ight |}$

- Điểm $small Gleft ( frac{1}{9};frac{1}{18};frac{1}{24} ight )$ là trọng tâm của ABC khi:

$small left{egin{matrix} frac{1}{m}=frac{1}{3} frac{1}{m(m-1)}=frac{1}{6} frac{1}{1-m^{2}}=-frac{1}{8} end{matrix} ight.$ $small Leftrightarrow left{egin{matrix} m=3 m(m-1)=6 1-m^{2}=-8 end{matrix} ight.Leftrightarrow m=3$

• Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua 1 điểm và biết VTPT hoặc cặp VTCP

* Phương pháp:

♦ Loại 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) khi đã biết vectơ pháp tuyến small overrightarrow{n}(A;B;C) và một điểm M₀(x₀; y₀; z₀) thuộc (P)

⇒ Phương trình (P) có dạng : A(x – x₀) + B(y – y₀ ) + C(z – z₀) = 0 ;

- Khai triển, rút gọn rồi đưa về dạng tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0, với D = -(Ax₀ + By₀ + Cz₀).

♦ Loại 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ba điểm M, N, I không thẳng hàng

- Tìm vectơ pháp tuyến của (P): $small dpi{100} fn_cm small dpi{100} fn_cm small overrightarrow{n}_{p}=left [ overrightarrow{MN},overrightarrow{MI} ight ]$ ;

- Viết PT mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến là small overrightarrow{n} như Loại 1.

* Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;5;-7) có VTPT là small overrightarrow{n} =(5;-2;-3).

* Lời giải:

- Mặt phẳng (P) đi qua M(2;5;-7) có vectơ pháp tuyến là small overrightarrow{n} =(5;-2;-3) có phương trình:

5(x - 2) - 2(y - 5) - 3(z + 7) = 0

⇔ 5x - 2y - 3z - 21 = 0.

* Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;5;-7) và lấy vectơ $small overrightarrow{u}_{1}$ =(1;-2;3) và $small overrightarrow{u}_{2}$ = (3;0;5) làm VTCP.

* Lời giải:

- Ta tìm VTPT của (P):

small overrightarrow{n} $small =left [ overrightarrow{u}_{1},overrightarrow{u}_{2} ight ]$ $small dpi{100} fn_cm small =left ( left | egin{matrix} -2 &3 0& 5 end{matrix} ight |; left | egin{matrix} 3 &1 5& 3 end{matrix} ight |; left | egin{matrix} 1 &-2 3& 0 end{matrix} ight | ight )$ $small dpi{100} fn_cm small =(-10;4;6)=-2(5;-2;-3)=(5;-2;-3)$

- Mặt phẳng (P) đi qua M(2;5;-7) có vectơ pháp tuyến là small overrightarrow{n} =(5;-2;-3) có phương trình:

5(x - 2) - 2(y - 5) - 3(z + 7) = 0 ⇔ 5x - 2y - 3z - 21 = 0.

* Ví dụ 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(2;-1;3), B(4;0;1), C(-10;5;3).

* Lời giải:

- Ta có small overrightarrow{AB} = (2;1;-2); small overrightarrow{AC} = (-12;6;0).

- Gọi small vec{a}=left [ overrightarrow{AB} , overrightarrow{AC}
ight ] small =left ( left | egin{matrix} 1 &-2 6& 0 end{matrix}
ight |; left | egin{matrix} -2 & 2 0 & -12 end{matrix}
ight |;left | egin{matrix} 2 & 1 -12& 6 end{matrix}
ight |
ight ) =(12;24;24)=12(1;2;2).

- Ta chọn vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là small overrightarrow{n} =(1;2;2).

⇒ Phương trình của mặt phẳng (P) là:

1.(x – 2) + 2(y + 1) + 2(z – 3) = 0 ⇔ x + 2y + 2z – 6 = 0.

• Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua 1 điểm và song song mp(Q)

* Phương pháp:

- Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và song song với mặt phẳng (Q) : Ax + By + Cz + D = 0

– Phương trình (P) có dạng : Ax + By + Cz + D’ = 0 (*)

– Thay toạ độ điểm M₀ vào (*) ta tìm được D’.

* Ví dụ: Cho mặt phẳng (P) có phương trình 2x + 3y - 4z - 2 = 0 và điểm A(0;2;0). Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với (P).

* Lời giải:

- Vì (Q) song song với (P) nên phương trình mặt phẳng (Q) có dạng:

2x + 3y - 4z + D = 0. (*)

- Điểm A thuộc (Q) nên thay toạ độ của A vào (*) ta được: 2.0 + 3.2 - 4.0 + D = 0 ⇒ D = -6.

⇒ Vậy phương trình của mặt phẳng (Q) là : 2x + 3y - 4z - 6 = 0.

• Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua 2 điểm và vuông góc với mp(Q)

* Phương pháp:

- Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai điểm M, N và vuông góc với mặt phẳng (Q):

Ax + By + Cz + D = 0

– Tìm vectơ pháp tuyến của (P): $small small dpi{100} fn_cm small dpi{100} fn_cm small overrightarrow{n}_{p}=left [ overrightarrow{MN},overrightarrow{n}_{Q} ight ]$

– Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến là $small small overrightarrow{n}_{P}$ như Loại 1.

* Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (P) có phương trình 2x + 3y - 4z - 2 = 0 và điểm A(0;2;0).Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua OA và vuông góc với (P) với O là gốc toạ độ.

* Lời giải:

- Hai vectơ có giá song song hoặc được chứa trong (α) là :

small overrightarrow{OA} = (0;2;0) và small overrightarrow{n} _p=(2;3;-4).

⇒ (α) có vectơ pháp tuyến $small dpi{100} fn_cm small dpi{100} fn_cm small overrightarrow{n}_{alpha }$ =[ small overrightarrow{OA} ,_p] = (-8;0;-4).

⇒ Mặt phẳng (α) đi qua điểm O(0;0;0) và có vectơ pháp tuyến là $small dpi{100} fn_cm small dpi{100} fn_cm small overrightarrow{n}_{alpha }$ = (-8;0;-4) có PT:

-8x – 4z = 0 ⇔ 2x + z = 0.

* Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1;0;0), B(0;-3;0), C(0;0;-2).

* Lời giải:

- Áp dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ta được phương trình (P) có dạng:

$small dpi{100} fn_cm small frac{x}{1}+frac{y}{-3}+frac{z}{-2}=1$ ⇔ $small frac{x}{1}-frac{y}{3}-frac{z}{2}=1$ ⇔ 6x - 2y - 3z - 6 = 0.

• Dạng 5: Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng

* Phương pháp:

- Sử dụng các kiến thức phần vị trí tương đối của 2 mặt phẳng ở trên.

* Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi các phương trình tổng quát sau đây :

a) (P): x + 2y + 3z + 4 = 0 và (Q): x + 5y - z - 9 = 0.

b) (P): x + y + z + 5 = 0 và (Q): 2x + 2y + 2z + 6 = 0.

* Lời giải:

a) (P): x + 2y + 3z + 4 = 0 và (Q): x + 5y - z - 9 = 0.

- Gọi $small dpi{100} fn_cm small overrightarrow{n_{P}}$ , $small overrightarrow{n_{Q}}$ là VTPT của (P) và (Q), ta có: $small dpi{100} fn_cm small overrightarrow{n_{P}}$ =(1;2;3) , $small overrightarrow{n_{Q}}$ =(1;5;-1)

- Ta thấy: $small dpi{100} fn_cm small frac{1}{1} eq frac{2}{5}Rightarrow overrightarrow{n_{P}} eq koverrightarrow{n_{Q}}$ , vậy (P) cắt (Q).

b) (P): x + y + z + 5 = 0 và (Q): 2x + 2y + 2z + 6 = 0.

- Ta thấy: $small dpi{100} fn_cm small dpi{100} fn_cm small frac{1}{2}=frac{1}{2}=frac{1}{2} eq frac{5}{6}$ $small Rightarrowleft{egin{matrix} overrightarrow{n_{P}}=frac{1}{2}overrightarrow{n_{Q}} frac{1}{2} eq frac{5}{6} end{matrix} ight.$ , vậy (P)//(Q).

* Ví dụ 2: Xác định giá trị của m và n để cặp mặt phẳng sau đây song song với nhau:

(P): 2x + my + 3z – 5 = 0,

(Q) : nx – 8y – 6z + 2 = 0.

* Lời giải:

- Để (P)//(Q) thì: $small frac{2}{n}=frac{m}{-8}=frac{3}{-6} eq frac{-5}{2}$ small Leftrightarrow left{egin{matrix} 3n=-12 -6m=-24 end{matrix}
ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} n=-4 m=4 end{matrix}
ight.

• Dạng 6: Khoảng cách từ 1 điểm tới mặt phẳng

* Phương pháp

♦ Loại 1: Tính khoảng cách từ điểm M(x_M, y_M,z_M) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0, ta dùng công thức:

$small d[M,(P)]=frac{left |Ax_{M}+By_{M}+Cz_{M}+D ight |}{sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$

♦ Loại 2: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Ta lấy điểm M thuộc (P) khi đó khoảng cách từ (P) tới (Q) là khoảng cách từ M tới (Q) và tính theo công thức như ở loại 1.

* Ví dụ 1. Cho hai điểm A(1;-1;2), B(3;4;1) và mặt phẳng (P) có phương trình : x + 2y + 2z - 10 = 0. Tính khoảng cách từ A, B đến mặt phẳng (P).

* Lời giải:

- Ta có: $small dleft [ A,(P) ight ]=frac{left | x_{A} +2y_{A}+2z_{A}-10 ight |}{sqrt{1^{2}+2^{2}+2^{2}}}$ $small =frac{left | 1 -2+4-10 ight |}{3}=frac{7}{3}$

- Tương tự: $small dpi{100} fn_cm small dleft [ B,(P) ight ]=frac{left | x_{B} +2y_{B}+2z_{B}-10 ight |}{sqrt{1^{2}+2^{2}+2^{2}}}$ $small dpi{100} fn_cm small =frac{left | 3 +8+2-10 ight |}{3}=1$

* Ví dụ 2. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) cho bởi phương trình sau đây :

(P): x + 2y + 2z + 11 = 0.

(Q): x + 2y + 2z + 2 = 0.

* Lời giải:

- Ta lấy điểm M(0;0;-1) thuộc mặt phẳng (P), kí hiệu d[(P),(Q)] là khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), ta có:

small dleft [ (P),(Q)
ight ]=dleft [ M,(Q)
ight ] $small =frac{left | x_{M} +2y_{M}+2z_{M}+11 ight |}{sqrt{1^{2}+2^{2}+2^{2}}}$ $small =frac{left | 0 +2.0+2(-1)+11 ight |}{3}=frac{9}{3}=3$

⇒ d[(P),(Q)] = 3.

* Ví dụ 3. Tìm trên trục Oz điểm M cách đều điểm A(2;3;4) và mặt phẳng (P): 2x + 3y + z - 17 = 0.

* Lời giải:

- Xét điểm M(0;0;z) ∈ Oz, ta có :

- Điểm M cách đều điểm A và mặt phẳng (P) là:

small overline{AM}=dleft [ M,(P)
ight ] $small Leftrightarrow sqrt{4+9+(z-4)^{2}}=frac{left | z-17 ight |}{sqrt{4+9+1}}$

$small Leftrightarrow 13+(z-4)^{2}=frac{(z-17)^{2}}{14}$

$small dpi{100} fn_cm small Leftrightarrow 14[13+(z-4)^{2}]=(z-17)^{2}$

$small Leftrightarrow 13z^{2}-78z+117=0$

$small Leftrightarrow z^{2}-6z+9=0$

small Leftrightarrow z=3

⇒ Vậy điểm M(0;0;3) là điểm cần tìm.

* Ví dụ 4: Cho hai mặt phẳng (P₁) và (P₂) lần lượt có phương trình là (P₁): Ax + By + Cz + D = 0 và (P₂): Ax + By + Cz + D' = 0 với D ≠ D'.

a) Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P₁) và (P₂).

b) Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai mặt phẳng (P₁) và (P₂).

* Áp dụng cho trường hợp cụ thể với (P₁): x + 2y + 2z + 3 = 0 và (P₂): 2x + 4y + 4z + 1 = 0.

* Lời giải:

a) Ta thấy rằng (P₁) và (P₂) song song với nhau, lấy điểm M(x₀; y₀; z₀) ∈ (P₁), ta có:

Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D = 0 ⇒ (Ax₀ + By₀ + Cz₀) = -D (1)

- Khi đó, khoảng cách giữa (P₁) và (P₂) là khoảng cách từ M tới (P₂):

$small dpi{100} fn_cm small dleft [ (P_{1}),(P_{2}) ight ]=dleft [ M,(P_{2}) ight ]$ $small dpi{100} fn_cm small =frac{left | Ax_{0} +By_{0}+Cz_{0}+D' ight |}{sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$ $small =frac{left | D'-D ight |}{sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$ (theo (1))

b) Mặt phẳng (P) song song với hai mặt phẳng đã cho sẽ có dạng (P): Ax + By + Cz + E = 0. (2)

- Để (P) cách đều hai mặt phẳng (P₁) và (P₂) thì khoảng cách từ M₁(x₁; y₁; z₁) ∈ (P₁) đến (P) bằng khoảng cách từ M₂(x₂; y₂; z₂) ∈ (P₂) đến (P) nên ta có:

$small small dleft [ M_{1},(P) ight ]=dleft [ M_{2},(P) ight ]$ $small Leftrightarrow frac{left | Ax_{1} +By_{1}+Cz_{1}+E ight |}{sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}= frac{left | Ax_{2} +By_{2}+Cz_{2}+E ight |}{sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$ (3)

mà (Ax₁ + By₁ + Cz₁) = -D ; (Ax₂ + By₂ + Cz₂) = -D' nên ta có:

(3) $small small Leftrightarrow frac{left | E-D ight |}{sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}= frac{left |E-D' ight |}{sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$

vì E≠D, nên: $small E=frac{1}{2}(D+D')$

⇒ Thế E vào (2) ta được phương trình mp(P): Ax + By + Cz + ½(D+D') = 0

* Áp dụng cho trường hợp cụ thể với (P₁): x + 2y + 2y + 3 = 0 và (P₂): 2x + 4y + 4z + 1 = 0.

a) Tính khoảng cách giữa (P₁) và (P₂):

- mp(P₂) được viết lại: x + 2y + 2z + ½ = 0

$small dpi{100} fn_cm small dleft [ (P_{1}),(P_{2}) ight ]=frac{left | D'-D ight |}{sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$ $small dpi{100} fn_cm small =frac{left | 3-frac{1}{2} ight |}{sqrt{1^{2}+2^{2}+2^{2}}}=frac{frac{5}{2}}{3}=frac{5}{6}$

b) Ta có thể sử dụng 1 trong 3 cách sau:

- Cách 1: áp dụng kết quả tổng quát ở trên ta có ngay phương trình mp(P) là:

$small (P): x + 2y + 2z +frac{1}{2}left ( 3+frac{1}{2} ight )=0$ $small Leftrightarrow x + 2y + 2z +frac{7}{4}=0$

- Cách 2: (Sử dụng phương pháp qũy tích): Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm, điểm M(x; y; z) ∈ (P) khi:

$small dleft [ M,(P_{1}) ight ]=dleft [ M,(P_{2}) ight ]$ $small small Leftrightarrow frac{left | x +2y+2z+3 ight |}{sqrt{1^{2}+2^{2}+2^{2}}}= frac{left | x +2y+2z+frac{1}{2} ight |}{sqrt{1^{2}+2^{2}+2^{2}}}$

$small Leftrightarrow left | x +2y+2z+3 ight |=left | x +2y+2z+frac{1}{2} ight |$

$small Leftrightarrow x + 2y + 2z +frac{7}{4}=0$

- Cách 3: (Sử dụng tính chất): Mặt phẳng (P) song song với hai mặt phẳng đã cho sẽ có dạng:

(P): x + 2y + 2z + D = 0.

+ Lấy các điểm small A(-3:0;0) ∈ (P₁) và $small dpi{100} fn_cm small Bleft (-frac{1}{2};0;0 ight )$ ∈ (P₂), suy ra đoạn thẳng AB có trung điểm là $small Mleft (- frac{7}{4};0;0 ight )$

+ Mặt phẳng (P) cách đều (P₁) và (P₂) thì (P) phải đi qua M nên ta có:

$small -frac{7}{4}+D=0Leftrightarrow D=frac{7}{4}$

$small Rightarrow (P): x + 2y + 2z +frac{7}{4}=0$

• Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) và vuông góc với mp(Q)

* Phương pháp

• Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến của (Q) giả sử là $\small \overrightarrow{n}_Q$

• Bước 2: Tìm vectơ chỉ phương của (d) giả sử là $\small \overrightarrow{u}_d$

• Bước 3: Tính vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): $\small \overrightarrow{n}_p=[\overrightarrow{n}_Q,\overrightarrow{u}_d]$

• Bước 4: Lấy một điểm M thuộc đường thẳng (d)

• Bước 5: viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua một điểm M và có VTPT $\small \overrightarrow{n}_p$

* Ví dụ: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng Δ : $\small \left\{\begin{matrix} x=2+t\\ y=-1+3t\\ z=4-5t \end{matrix}\right.$ và vuông góc với mặt phẳng (Q): x + y + 2z - 3 = 0.

* Lời giải:

- Ta thấy: Đường thẳng Δ đi qua điểm A(2;-1;4) và có VTCP: $\small \overrightarrow{u}_\Delta =(1;3;-5)$

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến $\small \overrightarrow{n}_Q=(1;1;2)$

Vì mặt phẳng (P) đi qua chứa Δ và vuông góc với mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là:

$\small \overrightarrow{n}_P=[\overrightarrow{n}_Q,\overrightarrow{u}_\Delta ]$ $\small = \left ( \left | \begin{matrix} 1&2\\ 3&-5 \end{matrix} \right |; \left | \begin{matrix} 2&1\\ -5&1 \end{matrix} \right |; \left | \begin{matrix} 1&1\\ 1&3 \end{matrix} \right |\right )=(-11;7;2)$

Vậy phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(2;-1;4) và có VTPT $\small \overrightarrow{n}$ là:

-11(x - 2) + 7(y + 1) + 2(z - 4) = 0

⇔ 11x - 7y - 2z - 21 =0

» xem thêm ví dụ tại: Cách viết phương trình mặt phẳng P chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng Q

III. Luyện tập bài tập Viết phương trình mặt phẳng

Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng (P), biết:

a) (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB với A(1; 1; 2) và B(1; −3; 2).

b) (P) đi qua điểm C(1; 2; −3) và song song với mặt phẳng (Q) có phương trình x − 2y + 3z + 1 = 0.

c) (P) đi qua điểm D(1; 1; 2) và có cặp vtcp small overrightarrow{a} (2; -1, 1), small overrightarrow{b} (2; -1; 3).

d) (P) đi qua điểm E(3; 1; 2) và vuông góc với hai mặt phẳng (R1): 2x + y + 2z - 10 = 0 và (R2): 3x + 2y + z + 8 = 0.

Bài 2: Cho hai điểm A(1; −1; 5), B(0; 0; 1).

a) Tìm điểm M thuộc Oy sao cho ΔMAB cân tại M.

b) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và song song với trục Oy.

Bài 3: Cho hai điểm A(2; 1; −3), B(3; 2; −1) và mặt phẳng (Q) có phương trình (Q): x + 2y + 3z − 4 = 0.

a) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (Q).

b) Tìm tọa độ điểm I thuộc (Q) sao cho I, A, B thẳng hàng.

Bài 4: Cho điểm M₁(2; 1; −3) và hai mặt phẳng (P₁), (P₂) có phương trình:

(P₁): x + y + 2z + 3 = 0 và (P₂): x + (m − 2)y + (m − 1)z − 3m = 0.

1) Tìm m để (P₁) song song với (P₂).

2) Với m tìm được ở câu 1) hãy:

a. Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P₁) và (P₂).

b. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai mặt phẳng (P₁) và (P₂).

c. Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P₁), (P₂)) và d[(Q), (P₁)] = 2d[(Q), (P₂)].

Bài 5: Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:

a) Đi qua điểm G(1; 2; 3) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm ΔABC.

b) Đi qua điểm H(2; 1; 1) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm ΔABC.

c) Đi qua điểm M(1; 1; 1) cắt chiều dương của các trục toạ độ tại ba điểm A, B, C sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất.

Bài 6: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình là: (P): x - 3y - 3z + 5 = 0 và (Q): (m² + m + 1)x − 3y + (m + 3)z + 1 = 0. Với giá trị nào của m thì:

a) (P)//(Q)? b) (P)≡(Q)?

c) (P) cắt (Q)? d) (P)⊥(Q)?

Hy vọng với bài viết hệ thống lại các dạng bài tập toán về phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao ở trên hữu ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để HayHocHoi.Vn ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.

Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12

Tags:

Đánh giá & nhận xét