Bài 1.32 trang 42 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề Bài 1.32 trang 42 Toán 12:

Hàm số nào dưới đây không có cực trị?

A. y = |x|

B. y = x⁴ 

C. y = -x³ + x

D. $y=\frac{2x-1}{x+1}$

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để xác định một hàm số có cực trị hay không, chúng ta thường dựa vào dấu của đạo hàm. Một hàm số đạt cực trị tại một điểm x0​ nếu đạo hàm f′(x) đổi dấu khi đi qua x0​ (từ dương sang âm hoặc ngược lại). Nếu đạo hàm không đổi dấu, hàm số đó không có cực trị.

Ta sẽ lần lượt kiểm tra từng hàm số trong các đáp án bằng cách tính đạo hàm (nếu có) và xét dấu của nó.

Lời giải chi tiết:

Ta sẽ phân tích từng hàm số để tìm hàm số không có cực trị:

• A. $y=|x|$

  Hàm số $y=|x|$ có đạo hàm $y'=1$ khi $x>0$ và $y'=-1$ khi $x<0$. Mặc dù hàm số không có đạo hàm tại $x=0$, nhưng đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua $x=0$.

  Do đó, hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$.

  Khẳng định này sai.

• B. $y=x^4$

  Đạo hàm là $y'=4x^3$. $y'=0\Leftrightarrow x=0$. Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua $x=0$.

  Do đó, hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$.

  Khẳng định này sai.

• C. $y=-x^3+x$

  Đạo hàm là $y'=-3x^2+1$. $y'=0\Leftrightarrow x^2=\frac{1}{3}$ $\Leftrightarrow x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$.

  Đạo hàm đổi dấu khi đi qua hai điểm này.

  Do đó, hàm số có hai cực trị.

  Khẳng định này sai.

• D.$y=\frac{2x-1}{x+1}$

  Hàm số có tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$.

  Đạo hàm là $y'=\frac{2(x+1)-(2x-1)}{(x+1)^2}$$=\frac{2x+2-2x+1}{(x+1)^2}=\frac{3}{(x+1)^2}$

  Vì $y'=\frac{3}{(x+1)^2}>0$ với mọi $x\ne-1$, nên đạo hàm luôn dương và không đổi dấu. Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty;-1)$ và $(-1;+\infty)$ và không có cực trị.

  Khẳng định này đúng.

Vậy, hàm số không có cực trị là hàm số ở đáp án D.

Đáp án: D.