Bài 3.1 trang 78 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề bài:

Thống kê số thẻ vàng của mỗi câu lạc bộ trong giải ngoại hạng Anh mùa giải 2021-2022 cho kết quả như sau:

a) Hãy ghép nhóm dãy số liệu trên thành các nhóm có độ dài bằng nhau với nhóm đầu tiên là

b) Tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc và mẫu số liệu ghép nhóm thu được ở câu a. Giá trị nào là giá trị chính xác? Giá trị nào là giá trị xấp xỉ?

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Bài toán này yêu cầu chúng ta áp dụng các kiến thức thống kê để xử lý và phân tích một mẫu số liệu cụ thể.

a) Ghép nhóm số liệu: Dựa vào nhóm đầu tiên là \([40; 50)\) , ta xác định các nhóm tiếp theo với độ dài bằng nhau là 10. Sau đó, ta sẽ đếm số lượng các giá trị trong mẫu số liệu gốc rơi vào từng khoảng để lập bảng tần số.

b) Tính khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị:

• Mẫu số liệu gốc:

  • Khoảng biến thiên R: 

    $R = \text{Giá trị lớn nhất} - \text{Giá trị nhỏ nhất}$

  • Tứ phân vị \(Q_1, Q_3\): Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần. \(Q_1\) là trung vị của nửa đầu, \(Q_3\) là trung vị của nửa sau. Khoảng tứ phân vị \(\Delta Q = Q_3 - Q_1\).

• Mẫu số liệu ghép nhóm:

  • Khoảng biến thiên \(R'\):

    $R' = \text{Cận trên nhóm cuối} - \text{Cận dưới nhóm đầu}$

  • Tứ phân vị \(Q'_1, Q'_3\): Sử dụng công thức nội suy tuyến tính:

    $Q_k = a + \frac{\frac{kN}{4} - n_a}{n_k} \cdot h$

  • \(a\): Cận dưới của nhóm chứa \(Q_k\)

  • \(N\): Tổng số mẫu

  • \(n_a\): Tần số tích lũy của các nhóm trước nhóm chứa \(Q_k\)

  • \(n_k\): Tần số của nhóm chứa \(Q_k\)

  • \(h\): Chiều rộng của nhóm chứa \(Q_k\)

So sánh giá trị: Các giá trị tính từ mẫu số liệu gốc là chính xác, vì chúng dựa trên dữ liệu thực tế. Các giá trị tính từ mẫu số liệu ghép nhóm là xấp xỉ, vì quá trình ghép nhóm đã làm mất đi thông tin chi tiết của từng giá trị.

Lời giải chi tiết:

a) Bảng số liệu ghép nhóm:

b) Mẫu số liệu gốc

Khoảng biến thiên: R₁ = 101 – 42 = 59.

Sắp xếp mẫu số liệu gốc theo thứ tự tăng dần:

42; 47; 50; 55; 55; 57; 59; 60; 61; 63; 63; 67; 67; 68; 73; 75; 78; 79; 79; 101.

Vì n = 20 nên tứ phân vị thứ nhất là trung vị của nhóm 42; 47; 50; 55; 55; 57; 59; 60; 61; 63.

Do đó $Q_1=\frac{55+57}{2}=56$.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của nhóm 63; 67; 67; 68; 73; 75; 78; 79; 79; 101.

Do đó $Q_3=\frac{73+75}{2}=74$.

Do đó D_1Q = 74 – 56 = 18.

Mẫu số liệu ghép nhóm

Khoảng biến thiên là: R₂ = 110 – 40 = 70.

Cỡ mẫu là n = 20.

Gọi x₁; x₂; …; x₂₀ là số thẻ vàng của mỗi câu lạc bộ trong giải ngoại hạng Anh mùa giải 2021 – 2022 và được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là $\frac{x_5+x_6}{2}$.

Mà x₅; x₆ thuộc nhóm [50; 60) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [50; 60).

Ta có $Q_1=50+\frac{\frac{20}{4}-2}{5}.(60-50)=56$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là $\frac{x_{15}+x_{16}}{2}$.

Mà x₁₅; x₁₆ thuộc nhóm [70; 80) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [70; 80).

Ta có $Q_3=70+\frac{\frac{20.3}{4}-14}{5}.(80-70)=72$ .

Do đó D_2Q = 72 – 56 = 16.

Giá trị chính xác là R₁ và D_1Q; giá trị xấp xỉ là R₂ và D_2Q.