Bài 1.2 trang 13 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề Bài 1.2 trang 13 Toán 12:

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) $y=\frac{1}{3}x^3-2x^2+3x+1$

b) $y=-x^3+2x^2-5x+3$

Phân tích và Hướng dẫn giải

Để xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số, các em cần thực hiện các bước sau:

1. Tìm tập xác định: Xác định tập xác định của hàm số đã cho.

2. Tính đạo hàm: Tính đạo hàm y′ của hàm số.

3. Xét dấu của đạo hàm:

   • Hàm số đồng biến trên một khoảng nếu đạo hàm y′>0 trên khoảng đó.

   • Hàm số nghịch biến trên một khoảng nếu đạo hàm y′<0 trên khoảng đó.

   • Hàm số đạt cực trị tại các điểm mà đạo hàm bằng 0.

Đối với các hàm số đa thức, đạo hàm y′ sẽ là một đa thức. Việc xét dấu của y′ sẽ trở về việc giải các bất phương trình bậc hai.

Lời giải Bài 1.2 trang 13 Toán 12:

a) $y=\frac{1}{3}x^3-2x^2+3x+1$

Tập xác định: D = R

y' = x² - 4x + 3 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 3

Ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số $y=\frac{1}{3}x^3-2x^2+3x+1$

- Đồng biến trên khoảng (-∞; 1) và (3; +∞)

- Nghịch biến trên khoảng (1; 3)

b) $y=-x^3+2x^2-5x+3$

TXĐ: D = R

Ta có: y' = -3x² + 4x - 5

Vì: $-3x^2 + 4x - 5$ $=-3\left ( x^2-2.\frac{2}{3}+\frac{4}{9} \right )-\frac{11}{3}$

$=-3\left ( x-\frac{2}{3} \right )^2-\frac{11}{3}<0,$ $\: \forall x\in \mathbb{R}$

Nên y' < 0 với mọi x ∈ R

Hàm số y = -x³ + 2x² - 5x + 3 nghịch biến trên (-∞; +∞)