Bài 3.6 trang 84 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề bài:

Một nhóm 20 học sinh dùng một thiết bị đo đường kính của một nhân tế bào cho kết quả như sau:

a) Tính số trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

b) Số trung bình và độ lệch chuẩn cho biết thông tin gì?

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Bài toán này có hai yêu cầu chính:

1. Tính toán các đại lượng thống kê: Chúng ta sẽ tính số trung bình và độ lệch chuẩn cho dữ liệu đã được ghép nhóm. Vì dữ liệu đã được tổng hợp, chúng ta sẽ sử dụng giá trị đại diện của mỗi nhóm để tính toán.

2. Diễn giải ý nghĩa: Sau khi có kết quả, chúng ta cần hiểu các con số này mang ý nghĩa gì trong ngữ cảnh của bài toán.

Công thức áp dụng:

• Giá trị đại diện: Trung điểm của mỗi khoảng.

• Số trung bình (\(\bar{x}\)): $$\bar{x} = \frac{\sum (x_i \cdot n_i)}{N}$$ Trong đó, $x_i$ là giá trị đại diện, $n_i$ là tần số, và $N$ là tổng số mẫu.

• Độ lệch chuẩn (\(s\)): $$s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2 \cdot n_i}{N}}$$ Hoặc sử dụng công thức rút gọn: $$s = \sqrt{\frac{\sum x_i^2 \cdot n_i}{N} - \bar{x}^2}$$

Lời giải chi tiết:

Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có:

a) Tổng số mẫu: \(N = 3 + 8 + 7 + 2 = 20\) học sinh.

$\bar{x} = \frac{4,75 \cdot 3 + 5,25 \cdot 8 + 5,75 \cdot 7 + 6,25 \cdot 2}{20} = \frac{97}{20} = 5,45$

Phương sai:

$s^2 = \frac{4,75^2 \cdot 3 + 5,25^2 \cdot 8 + 5,75^2 \cdot 7 + 6,25^2 \cdot 2}{20} - 5,45^2=0,185$

Độ lệch chuẩn:

$s = \sqrt{0,185} \approx 0,43$

b) Ý nghĩa của số trung bình và độ lệch chuẩn

• Số trung bình (\(\bar{x}\) = 5,45): Giá trị này cho biết đường kính trung bình của nhân tế bào trong mẫu đo. Đây là một đại lượng thể hiện xu hướng trung tâm của dữ liệu. Hay nói cách khác, 5,45 \(\mu m\) là đường kính đại diện cho toàn bộ mẫu đo.

• Độ lệch chuẩn (\(s\) ≈ 0,43): Giá trị này là thước đo độ phân tán của dữ liệu. Một độ lệch chuẩn nhỏ (trong trường hợp này là 0,43) cho thấy các giá trị đo được (đường kính của nhân tế bào) rất gần với giá trị trung bình. Điều này có thể được diễn giải theo hai cách:

  1. Tính đồng đều của mẫu: Các nhân tế bào trong mẫu có kích thước khá đồng đều.

  2. Độ chính xác của phép đo: Quy trình đo lường được thực hiện một cách chính xác, các kết quả không bị phân tán quá rộng do sai số.