Bài 3.4 trang 84 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề bài:

Kiểm tra khối lượng của 30 bao xi măng (đơn vị: kg) được chọn ngẫu nhiên trước khi xuất xưởng cho kết quả như sau:

a) Thay dấu “?” bằng số thích hợp để hoàn thiện mẫu số liệu ghép nhóm sau.

b) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc và mẫu số liệu ghép nhóm. Giá trị nào là giá trị chính xác? Giá trị nào là giá trị xấp xỉ?

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Bài toán này có hai yêu cầu chính:

1. Lập bảng tần số ghép nhóm: Dựa vào dữ liệu gốc (không có trong đề bài nhưng có trong lời giải), ta sẽ đếm số lượng bao xi măng có khối lượng rơi vào từng khoảng đã cho để hoàn thiện bảng.

2. Tính phương sai (\(s^2\) ) và độ lệch chuẩn (\(s\) ):

   • Mẫu số liệu gốc: Phương sai được tính bằng công thức: $$s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}$$ Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai: $$s = \sqrt{s^2}$$

   • Mẫu số liệu ghép nhóm: Ta sử dụng giá trị đại diện của mỗi nhóm để tính toán. Công thức phương sai: $$s^2 = \frac{\sum (x'_{i} - \bar{x}')^2 \cdot n_i}{N}$$ Trong đó, \(x'_{i}\) là giá trị đại diện, \(\bar{x}'\) là giá trị trung bình của mẫu ghép nhóm, \(n_i\) là tần số của nhóm, và \(N\) là tổng số mẫu.

Lời giải chi tiết:

a) Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có:

Dựa vào dữ liệu gốc (tổng 30 bao xi măng), ta đếm số lượng bao xi măng có khối lượng trong mỗi khoảng để hoàn thiện bảng:

b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn

• Mẫu số liệu gốc:

  • Giá trị trung bình\(\bar{x}\): Tổng khối lượng của 30 bao là 1504.3 kg. $$\bar{x} = \frac{1504,3}{30} \approx 50,1433$$

  • Phương sai \(s^2\): $$s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{784,61}{30 \cdot 1000} \cdot \frac{1}{30} = \frac{78461}{90000} \approx 0,87179$$

  • Độ lệch chuẩn \(s\): $$s = \sqrt{s^2} \approx \sqrt{0,87179} \approx 0,9337$$

Mẫu số liệu ghép nhóm

Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có:

• Giá trị trung bình \(\bar{x}'\): $$\bar{x}' = \frac{48,75 \cdot 6 + 49,25 \cdot 2 + 49,75 \cdot 4 + 50,25 \cdot 4 + 50,75 \cdot 6 + 51,25 \cdot 8}{30} = \frac{1505}{30} \approx 50,1667$$

• Phương sai \((s')^2\): $$(s')^2 = \frac{\sum (x'_i - \bar{x}')^2 \cdot n_i}{N} \approx 0,86354$$

• Độ lệch chuẩn \(s'\): $$s' = \sqrt{(s')^2} \approx \sqrt{0,86354} \approx 0,929$$

Kết luận:

• Giá trị chính xác là các giá trị được tính từ mẫu số liệu gốc (phương sai \(s^2 \approx 0,87179\) và độ lệch chuẩn \(s \approx 0,9337\)).

• Giá trị xấp xỉ là các giá trị được tính từ mẫu số liệu ghép nhóm (phương sai \((s')^2 \approx 0,86354\) và độ lệch chuẩn \(s' \approx 0,929\)).