Bài 2.38 trang 74 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề bài:

Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2; -1; 3), B(1; 1; -1) và C(-1; 0; 2)

a) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oz sao cho đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Bài toán có hai yêu cầu chính:

a) Tìm tọa độ trọng tâm G: Sử dụng công thức tọa độ trọng tâm của tam giác.

b) Tìm tọa độ điểm M:

* Điểm M thuộc trục Oz nên có tọa độ dạng M(0; 0; z).

* Điều kiện vuông góc giữa BM và AC có nghĩa là tích vô hướng của hai vector $\vec{BM}$ và $\vec{AC}$ bằng 0.

Chúng ta sẽ áp dụng các công thức này để giải quyết từng yêu cầu của bài toán.

Lời giải chi tiết:

a) Tìm tọa độ trọng tâm G

Vì G là trọng tâm G của tam giác ABC nên ta có:

Vậy tọa độ trọng tâm G là: G(2/3; 0; 4/3)

b) Tìm tọa độ điểm M.

Vì M thuộc trục Oz nên M(0; 0; z)

Khi đó, ta có:

, 

Vì đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC nên có:

⇔ (-1).(-3) + (-1).1 + (z + 1).(-1) = 0

⇔ 3 - 1 - z - 1 = 0

⇔ z = 1

Vậy M(0; 0; 1) thì đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC.