Hotline 0936685849

Bài 1.33 trang 42 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức: Giá Trị Cực Tiểu Của Hàm Số

10:39:1824/03/2024

Bài 1.33 trang 42 Toán 12 Tập 1 thuộc chương "Hàm số mũ và lôgarit". Bài tập này giúp các em củng cố kiến thức về cách tìm giá trị cực tiểu của hàm số bằng cách sử dụng đạo hàm và bảng biến thiên.

Đề bài

Giá trị cực tiểu của hàm số $y=x^2\ln x$ là:

A. $\frac{1}{e}$ B. $-\frac{1}{e}$ C. $-\frac{1}{2e}$ D. $\frac{1}{2e}$

Phân tích kiến thức và hướng dẫn giải chi tiết

1. Phương pháp giải

Để tìm giá trị cực tiểu của hàm số, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính đạo hàm $y'$ của hàm số.
Bước 3: Giải phương trình $y'=0$ để tìm các điểm cực trị.
Bước 4: Lập bảng biến thiên của hàm số để xác định các điểm cực tiểu và giá trị cực tiểu.

2. Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tìm tập xác định Hàm số có chứa $\ln x$ , nên điều kiện là $x>0$ . Vậy, tập xác định là $$D=(0;+\infty)$.$
Bước 2: Tính đạo hàm $y'$ Áp dụng công thức đạo hàm của tích $(uv)'=u'v+uv'$ , với $u=x^2$

và $v=\ln x$ . $u'=2x$ , $v'=\frac{1}{x}$ , $y'=(x^2)'\ln x+x^2(\ln x)'$

$y'=2x\ln x+x^2\cdot\frac{1}{x}$ ,

$y'=2x\ln x+x=x(2\ln x+1)$
Bước 3: Giải phương trình $y'=0\Leftrightarrow x(2\ln x+1)=0$ Vì $x\in D$ nên $x>0$ , do đó $x\neq 0$ . Phương trình tương đương với: $2\ln x+1=0\Leftrightarrow 2\ln x=-1$

$\ln x=-\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow x=e^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{e}}$
Bước 4: Lập bảng biến thiên Ta xét dấu của $y'$ trên $D=(0;+\infty)$ .
- Khi $x>\frac{1}{\sqrt{e}}$ : $\ln x>\ln(\frac{1}{\sqrt{e}})=-\frac{1}{2}$ , suy ra $2\ln x+1>0$ . Do đó $y'>0$ .
- Khi $0<x<\frac{1}{\sqrt{e}}$ : $\ln x<-\frac{1}{2}$ , suy ra $2\ln x+1<0$ . Do đó $y'<0$ . Bảng biến thiên:

Bảng biến thiên bài 1.33 Toán 12 kết nối tri thức

Kết luận: Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại $x=\frac{1}{\sqrt{e}}$ . Giá trị cực tiểu là $y_{CT}=f(\frac{1}{\sqrt{e}})=(\frac{1}{\sqrt{e}})^2\cdot\ln(\frac{1}{\sqrt{e}})$ suy ra $y_{CT}=\frac{1}{e}\cdot\ln(e^{-1/2})$ suy ra $y_{CT}=\frac{1}{e}\cdot(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{2e}$

Đáp số:

Giá trị cực tiểu của hàm số là $y_{CT}=-\frac{1}{2e}$ .

Vậy, đáp án đúng là C.

Bài toán này là một ví dụ điển hình về việc tìm cực trị của hàm số. Nắm vững các bước tìm đạo hàm, giải phương trình y' = 0 và lập bảng biến thiên là nền tảng quan trọng để các em giải quyết các bài toán khảo sát hàm số. Chúc các em học tốt!

• Xem thêm:

Bài 1.30 trang 42 Toán 12 Tập 1 Kết nối tri thức: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b). Phát biểu nào dưới đây là đúng?...

Bài 1.31 trang 42 Toán 12 Tập 1 Kết nối tri thức: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên R? A. y = -x³ + 3x² - 9x...

Bài 1.32 trang 42 Toán 12 Tập 1 Kết nối tri thức: Hàm số nào dưới đây không có cực trị? A. y = |x|...

Bài 1.34 trang 42 Toán 12 Tập 1 Kết nối tri thức: Giá trị lớn nhất của hàm số y = (x - 2)².e^x trên đoạn [1; 3] là: A. 0...

Bài 1.35 trang 42 Toán 12 Tập 1 Kết nối tri thức: Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn:... A. Đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số...

Bài 1.36 trang 42 Toán 12 Tập 1 Kết nối tri thức: Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = (x² + 2x - 2)/(x + 1)...