Bài 1.33 trang 42 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức: Giá Trị Cực Tiểu Của Hàm Số

Đề Bài 1.33 trang 42 Toán 12

Giá trị cực tiểu của hàm số $y=x^2\ln x$ là:

A. $\frac{1}{e}$   B. $-\frac{1}{e}$   C. $-\frac{1}{2e}$   D. $\frac{1}{2e}$

Phân tích kiến thức và hướng dẫn giải chi tiết

1. Phương pháp giải

Để tìm giá trị cực tiểu của hàm số, ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

• Bước 2: Tính đạo hàm $y'$ của hàm số.

• Bước 3: Giải phương trình $y'=0$ để tìm các điểm cực trị.

• Bước 4: Lập bảng biến thiên của hàm số để xác định các điểm cực tiểu và giá trị cực tiểu.

2. Lời giải chi tiết:

• Bước 1: Tìm tập xác định Hàm số có chứa , nên điều kiện là $x>0$. Vậy, tập xác định là $D=(0;+\infty)$.

• Bước 2: Tính đạo hàm  Áp dụng công thức đạo hàm của tích $(uv)'=u'v+uv'$, với $u=x^2$ 

  và $v=\ln x$. $u'=2x$, v'=\frac{1}{x},  $y'=(x^2)'\ln x+x^2(\ln x)'$ 

  $y'=2x\ln x+x^2\cdot\frac{1}{x}$

  $y'=2x\ln x+x=x(2\ln x+1)$

• Bước 3: Giải phương trình $y'=0\Leftrightarrow x(2\ln x+1)=0$ Vì $x\in D$ nên $x>0$, do đó $x\neq 0$. Phương trình tương đương với: $2\ln x+1=0\Leftrightarrow 2\ln x=-1$

  $\ln x=-\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow x=e^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{e}}$

• Bước 4: Lập bảng biến thiên Ta xét dấu của $y'$ trên $D=(0;+\infty)$.

  • Khi $x>\frac{1}{\sqrt{e}}$: $\ln x>\ln(\frac{1}{\sqrt{e}})=-\frac{1}{2}$, suy ra $2\ln x+1>0$. Do đó $y'>0$.

  • Khi $0<x<\frac{1}{\sqrt{e}}$: $\ln x<-\frac{1}{2}$, suy ra $2\ln x+1<0$. Do đó $y'<0$. Bảng biến thiên:

• Kết luận: Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại $x=\frac{1}{\sqrt{e}}$. Giá trị cực tiểu là $y_{CT}=f(\frac{1}{\sqrt{e}})$ $=(\frac{1}{\sqrt{e}})^2\cdot\ln(\frac{1}{\sqrt{e}})$ suy ra $y_{CT}=\frac{1}{e}\cdot\ln(e^{-1/2})$ suy ra $y_{CT}=\frac{1}{e}\cdot(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{2e}$

Đáp số:

Giá trị cực tiểu của hàm số là $y_{CT}=-\frac{1}{2e}$.

Vậy, đáp án đúng là C.