Bài 1.30 trang 42 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề bài:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b). Phát biểu nào dưới đây là đúng?

A. Nếu f'(x) ≥ 0 với mọi x thuộc (a; b) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên (a; b)

B. Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc (a; b) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên (a; b)

C. Hàm số y = f(x) đồng biến trên (a; b) khi và chỉ khi f'(x) ≥ 0 với mọi x thuộc (a; b)

D. Hàm số y = f(x) đồng biến trên (a; b) khi và chỉ khi f'(x) > 0 với mọi x thuộc (a; b)

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Đề bài đưa ra bốn phát biểu và yêu cầu xác định phát biểu nào là đúng. Để giải quyết bài toán này, các em cần nhớ lại định lí về mối quan hệ giữa dấu của đạo hàm và chiều biến thiên của hàm số.

Định lí: Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $(a;b)$.

• Nếu f′(x)>0 với mọi $x$ thuộc $(a;b)$ thì hàm số $f(x)$ đồng biến trên $(a;b)$.

• Nếu f′(x)<0 với mọi $x$ thuộc $(a;b)$ thì hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $(a;b)$.

• Nếu f′(x)=0 với mọi $x$ thuộc $(a;b)$ thì hàm số $f(x)$ là hàm hằng trên $(a;b)$.

Bên cạnh đó, cần lưu ý một trường hợp đặc biệt: khi f′(x)≥0, hàm số vẫn có thể đồng biến nếu dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.

Lời giải chi tiết:

Chúng ta sẽ phân tích từng phát biểu một:

• A. Nếu f′(x)≥0 với mọi $x$ thuộc $(a;b)$ thì hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên $(a;b)$: Phát biểu này chưa chính xác. Nếu f′(x)=0 trên một khoảng con của $(a;b)$, thì hàm số sẽ là hàm hằng trên khoảng đó, chứ không đồng biến. Ví dụ: hàm số y=x³ có y′=3x²≥0 với mọi $x$, nhưng hàm số chỉ đồng biến trên $\mathbb{R}$, không phải trên một khoảng con mà tại đó đạo hàm bằng 0. (Lưu ý: phát biểu này đúng khi dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm, nhưng phát biểu A không đề cập đến điều này).

• B. Nếu f′(x)>0 với mọi $x$ thuộc $(a;b)$ thì hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên $(a;b)$: Đây là nội dung chính xác của định lí về mối quan hệ giữa đạo hàm và tính đơn điệu.

• C. Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên $(a;b)$ khi và chỉ khi f′(x)≥0 với mọi $x$ thuộc $(a;b)$: Phát biểu này là sai ở chiều "khi và chỉ khi". Ví dụ, hàm số y=x³ đồng biến trên $\mathbb{R}$, nhưng y′=3x² có bằng 0 tại $x=0$.

• D. Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên $(a;b)$ khi và chỉ khi f′(x)>0 với mọi $x$ thuộc $(a;b)$: Phát biểu này sai vì hàm số có thể đồng biến ngay cả khi đạo hàm có một số điểm bằng 0.

Vậy, phát biểu đúng duy nhất trong các lựa chọn là B.

Đáp án: B.