Bài 3.7 trang 84 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề bài:

Thời gian chạy tập luyện cự li 100m của hai vận động viên được cho trong bảng sau: 

Dựa trên độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, hãy cho biết vận động viên nào có thành tích luyện tập ổn định hơn.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để xác định vận động viên nào có thành tích ổn định hơn, chúng ta cần tính độ lệch chuẩn của thời gian chạy cho mỗi người. Độ lệch chuẩn là một thước đo về mức độ phân tán của dữ liệu so với giá trị trung bình.

• Độ lệch chuẩn càng nhỏ, dữ liệu càng tập trung quanh giá trị trung bình, cho thấy thành tích càng ổn định.

• Độ lệch chuẩn càng lớn, dữ liệu càng phân tán rộng, cho thấy thành tích kém ổn định và có nhiều biến động.

Chúng ta sẽ sử dụng các công thức thống kê cho dữ liệu ghép nhóm:

1. Giá trị đại diện (\(x_i\)): Trung điểm của mỗi khoảng.

2. Thời gian trung bình (\(\bar{x}\)): $$\bar{x} = \frac{\sum (x_i \cdot n_i)}{N}$$

3. Phương sai (\(s^2\)): $$s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2 \cdot n_i}{N} = \frac{\sum x_i^2 \cdot n_i}{N} - \bar{x}^2$$

4. Độ lệch chuẩn (\(s\)): $$s = \sqrt{s^2}$$

Lời giải chi tiết:

Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có:

Thời gian chạy trung bình của A là:

$\bar{x}_A = \frac{10,15 \cdot 2 + 10,45 \cdot 10 + 10,75 \cdot 5 + 11,05 \cdot 3}{20} = \frac{211,7}{20} = 10,585$

Thời gian chạy trung bình của B là:

$\bar{x}_B = \frac{10,15 \cdot 3 + 10,45 \cdot 7 + 10,75 \cdot 9 + 11,05 \cdot 6}{25} = \frac{266,65}{25} = 10,666$

Phương sai và độ lệch chuẩn của A là

$$s_A^2 = \frac{10,15^2 \cdot 2 + 10,45^2 \cdot 10 + 10,75^2 \cdot 5 + 11,05^2 \cdot 3}{20} - (10,585)^2 \approx 0,067$$

Suy ra $s_A = \sqrt{0,067} \approx 0,26$.

Phương sai và độ lệch chuẩn của B là

$s_B^2 = \frac{10,15^2 \cdot 3 + 10,45^2 \cdot 7 + 10,75^2 \cdot 9 + 11,05^2 \cdot 6}{25} - (10,666)^2  \approx  0,083$

Suy ra $s_B = \sqrt{0,083} \approx 0,29$

So sánh

• Độ lệch chuẩn của vận động viên A (\(s_A \approx 0,26\) )nhỏ hơn độ lệch chuẩn của vận động viên B (\(s_B \approx 0,29\) ).

• Điều này cho thấy thành tích chạy của vận động viên A ít biến động hơn so với vận động viên B.

Kết luận: Vận động viên A có thành tích luyện tập ổn định hơn so với vận động viên B.