Bài 3.14 trang 86 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề bài:

Để đánh giá chất lượng một loại pin điện thoại mới, người ta ghi lại thời gian nghe nhạc liên tục của điện thoại được sạc đầy pin cho đến khi hết pin cho kết quả như sau:

Tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Bài toán yêu cầu chúng ta tính ba đại lượng thống kê cơ bản cho dữ liệu ghép nhóm:

1. Khoảng biến thiên R: Được tính bằng cách lấy cận trên của nhóm cuối cùng trừ đi cận dưới của nhóm đầu tiên. Công thức: R = max - min

2. Khoảng tứ phân vị (ΔQ): Được tính bằng ΔQ = Q₃ - Q₁ sau khi xác định được Q₁ và Q₃ bằng công thức nội suy tuyến tính: $Q_k = a + \frac{\frac{kN}{4} - n_a}{n_k} \cdot h$

   *\(a\): cận dưới của nhóm chứa $Q_k$. *\(N\): tổng số mẫu.

   *\(n_a\): tần số tích lũy của các nhóm trước. *\(n_k\): tần số của nhóm chứa $Q_k$. *\(h\): chiều rộng của nhóm chứa $Q_k$.

3. Độ lệch chuẩn s: Đo lường sự phân tán của dữ liệu quanh giá trị trung bình. Ta sử dụng công thức: $$s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2 \cdot n_i}{N}}$$ với $x_i$ là giá trị đại diện và \(\bar{x}\) là giá trị trung bình.

Lời giải chi tiết:

Khoảng biến thiên: R = 7,5 – 5 = 2,5.

Cỡ mẫu là n = 2 + 8 + 15 + 10 + 5 = 40.

Gọi x₁; x₂; …; x₄₀ thời gian nghe nhạc liên tục của điện thoại được sạc đầy pin cho đến khi hết pin và được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{x_{10}+x_{11}}{2}$

Mà x₁₀ ∈ [5,5; 6); x₁₁ ∈ [6; 6,5).

Do đó Q₁ = 6.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là$\frac{x_{30}+x_{31}}{2}$ .

Mà x₃₀; x₃₁ ∈ [6,5; 7) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [6,5; 7).

Ta có: 

Khoảng tứ phân vị D_Q = Q₃ – Q₁ = 6,75 – 6 = 0,75.

Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có

Thời gian trung bình là

Phương sai và độ lệch chuẩn là:

Suy ra: