Bài 3.5 trang 84 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề bài:

Tuổi thọ của một số linh kiện điện tử (đơn vị: năm) được sản xuất bởi hai phân xưởng được cho như sau:

Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm và nhận xét về độ phân tán của tuổi thọ các linh kiện điện tử được sản xuất bởi mỗi phân xưởng.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Bài toán này yêu cầu chúng ta tính toán phương sai và độ lệch chuẩn cho hai tập dữ liệu ghép nhóm, sau đó so sánh và đưa ra nhận xét.

1. Công thức tính toán:

• Giá trị đại diện: Vì đây là dữ liệu ghép nhóm, ta sử dụng giá trị đại diện của mỗi nhóm để tính toán. Giá trị đại diện thường là trung điểm của khoảng.

• Giá trị trung bình (\(\bar{x}\)): $$\bar{x} = \frac{\sum (x_i \cdot n_i)}{N}$$ Trong đó, \(x_i\) là giá trị đại diện, \(n_i\) là tần số của nhóm, và \(N\) là tổng số mẫu.

• Phương sai (\(s^2\)): $$s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2 \cdot n_i}{N} = \frac{\sum x_i^2 \cdot n_i}{N} - \bar{x}^2$$

• Độ lệch chuẩn (\(s\)): $$s = \sqrt{s^2}$$

2. Nhận xét về độ phân tán:

• Phương sai và độ lệch chuẩn là các thước đo về sự phân tán của dữ liệu.

• Giá trị càng lớn, dữ liệu càng phân tán rộng, tức là các giá trị cách xa giá trị trung bình.

• Giá trị càng nhỏ, dữ liệu càng tập trung quanh giá trị trung bình.

Lời giải chi tiết:

Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có:

Tuổi thọ trung bình của các linh kiện của phân xưởng 1 là:

$\bar{x}_1 = \frac{4 \cdot 1,75 + 9 \cdot 2,25 + 13 \cdot 2,75 + 8 \cdot 3,25 + 6 \cdot 3,75}{40} = 2,7875$

Tuổi thọ trung bình của các linh kiện của phân xưởng 2 là:

$\bar{x}_2 = \frac{2 \cdot 1,75 + 8 \cdot 2,25 + 20 \cdot 2,75 + 7 \cdot 3,25 + 3 \cdot 3,75}{40} = 2,7625$

Phương sai và độ lệch chuẩn của các linh kiện của phân xưởng 1 là:

$$s_1^2 = \frac{4 \cdot 1,75^2 + 9 \cdot 2,25^2 + 13 \cdot 2,75^2 + 8 \cdot 3,25^2 + 6 \cdot 3,75^2}{40} - (2,7875)^2 \approx 0,355$$

$s_1 = \sqrt{s_1^2} \approx \sqrt{0,355} \approx 0,596$

Phương sai và độ lệch chuẩn của các linh kiện của phân xưởng 2 là:

$s_2^2 = \frac{2 \cdot 1,75^2 + 8 \cdot 2,25^2 + 20 \cdot 2,75^2 + 7 \cdot 3,25^2 + 3 \cdot 3,75^2}{40} - (2,7625)^2 \approx 0,219$

$s_2 = \sqrt{s_2^2} \approx \sqrt{0,219} \approx 0,468$

Nhận xét:

• Tuổi thọ trung bình: Tuổi thọ trung bình của cả hai phân xưởng gần như bằng nhau (2,7875 năm và 2,7625 năm). Điều này cho thấy trung bình, các linh kiện của hai phân xưởng có tuổi thọ tương đương.

• Độ phân tán:

  • Phương sai của phân xưởng 1 (\(s_1^2 \approx 0,355\) ) lớn hơn phương sai của phân xưởng 2 (\(s_2^2 \approx 0,219\) ).

  • Tương tự, độ lệch chuẩn của phân xưởng 1 (\(s_1 \approx 0,596\) ) cũng lớn hơn độ lệch chuẩn của phân xưởng 2 (\(s_2 \approx 0,468\) ).

Điều này có nghĩa là, tuổi thọ của các linh kiện được sản xuất bởi phân xưởng 2 có độ phân tán thấp hơn, các giá trị tập trung hơn quanh giá trị trung bình. Ngược lại, tuổi thọ của các linh kiện từ phân xưởng 1 có sự chênh lệch lớn hơn, kém đồng đều hơn. Vì vậy, các linh kiện của phân xưởng 2 có chất lượng ổn định hơn.