Bài 1.5 Toán 12 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Giả sử số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 2000 được mô tả bởi hàm số:

Trong đó, N(t) được tính bằng nghìn người.

a) Tính số dân của thị trấn đó vào các năm 2000 và 2015.

b) Tính đạo hàm N’(t) và . Từ đó giải thích tại sao dân số của thị trấn đó luôn tăng nhưng sẽ không vượt qua một ngưỡng nào đó.

Phương pháp giải:

Bài toán này có hai phần chính:

1. Tính giá trị hàm số: Để tìm dân số vào một năm cụ thể, ta chỉ cần thay giá trị t (số năm kể từ năm 2000) vào hàm số N(t) đã cho.

2. Sử dụng đạo hàm để phân tích sự biến thiên:

   • Đạo hàm N'(t): Cho biết tốc độ thay đổi dân số tại thời điểm t. Nếu N'(t) > 0, dân số đang tăng.

   • Giới hạn của hàm số: Để tìm ngưỡng mà dân số không thể vượt qua, ta cần tính giới hạn của hàm số N(t) khi t tiến đến vô cực. $$\lim_{t \to +\infty} N(t)$$

Lời giải chi tiết:

a) Dân số của thị trấn đó vào năm 2000 là: 

 (nghìn người)

Dân số của thị trấn đó vào năm 2015 là: 

 (nghìn người)

b) Ta có: 

Vì  và  nên dân số của thị trấn đó luôn tăng nhưng sẽ không vượt qua ngưỡng 25 nghìn người.