Bài 3.2 trang 79 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề bài:

Thu nhập theo tháng (đơn vị: triệu đồng) của người lao động ở hai nhà máy như sau:

Tính mức thu nhập trung bình của người lao động ở hai nhà máy trên. Dựa vào khoảng tứ phân vị, hãy xác định xem mức thu nhập của người lao động ở nhà máy nào biến động nhiều hơn.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Bài toán này có hai yêu cầu chính:

1. Tính thu nhập trung bình: Đối với dữ liệu ghép nhóm, ta không thể tính trung bình một cách chính xác. Thay vào đó, ta sẽ sử dụng giá trị đại diện của mỗi nhóm để tính thu nhập trung bình xấp xỉ. Giá trị đại diện thường là trung điểm của khoảng.

2. So sánh mức độ biến động: Khoảng tứ phân vị (\(\Delta Q = Q_3 - Q_1\)), là một thước đo về sự phân tán của dữ liệu. Khoảng tứ phân vị càng lớn, mức độ biến động (phân tán) của dữ liệu càng nhiều.

Công thức sử dụng:

• Thu nhập trung bình (\(\bar{x}\)): $$\bar{x} = \frac{\sum (x_i \cdot n_i)}{N}$$ Trong đó, \(x_i\) là giá trị đại diện của nhóm thứ i, \(n_i\) là tần số của nhóm thứ i, và \(N\) là tổng số mẫu.

• Tứ phân vị (\(Q_k\)): $$Q_k = a + \frac{\frac{kN}{4} - n_a}{n_k} \cdot h$$ Với \(a\) là cận dưới của nhóm chứa \(Q_k\), \(N\) là tổng số mẫu, \(n_a\) là tần số tích lũy của các nhóm trước, \(n_k\) là tần số của nhóm chứa \(Q_k\), và \(h\) là chiều rộng của nhóm.

Lời giải chi tiết:

Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có:

Mức thu nhập trung bình của người lao động nhà máy A là:

$\frac{6,5.20+9,5.35+12,5.45+15,5.35+18,5.20}{(20+35+45+35+20)}=12,5$(triệu đồng)

Mức thu nhập trung bình của người lao động nhà máy B là:

$\frac{6,5.17+9,5.23+12,5.30+15,5.23+18,5.17}{(17+23+30+23+17)}=12,5$ (triệu đồng).

Nhà máy A

Cỡ mẫu n = 20 + 35 + 45 + 35 + 20 = 155.

Gọi x₁; x₂; …; x₁₅₅ là mức thu nhập của 155 công nhân lao động của nhà máy A và được sắp xếp theo thứ tự tăng dần

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là x₃₉ thuộc nhóm [8; 11) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [8; 11).

Ta có $Q_1=8+\frac{\frac{155}{4}-20}{35}.(11-8)\approx 9,6$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là x₁₁₇ thuộc nhóm [14; 17) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [14; 17).

Ta có $Q_3=14+\frac{\frac{155.3}{4}-100}{35}.(17-14)\approx 15,4$

Khoảng tứ phân vị: R_AQ = 15,4 – 9,6 = 5,8.

Nhà máy B

Cỡ mẫu n = 17 + 23 + 30 + 23 + 17 = 110.

Gọi y₁; y₂; …; y₁₁₀ là mức thu nhập của 110 công nhân lao động của nhà máy B và được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là y₂₈ thuộc nhóm [8; 11) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [8; 11).

Ta có $Q_1=8+\frac{\frac{110}{4}-17}{23}.(11-8)\approx 9,4$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là y₈₃ thuộc nhóm [14; 17) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [14; 17).

Ta có $Q_3=14+\frac{\frac{3.110}{4}-70}{23}.(17-14)\approx 15,6$

Khoảng tứ phân vị .

Vì R_BQ > R_AQ nên mức thu nhập của người lao động ở nhà máy B biến động nhiều hơn.