Bài 3.16 trang 86 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề bài:

Thành tích môn nhảy cao của các vận động viên tại một giải điền kinh dành cho học sinh trung học phổ thông như sau:

a) Tính các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

b) Độ phân tán của mẫu số liệu cho biết điều gì?

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Bài toán này yêu cầu chúng ta tính toán ba đại lượng chính để đo lường mức độ phân tán: khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn.

• Khoảng biến thiên (R): Đây là thước đo đơn giản nhất, tính bằng hiệu giữa cận trên của nhóm cuối và cận dưới của nhóm đầu.

• Khoảng tứ phân vị (\(\Delta Q\)): Đo sự biến động của 50% dữ liệu ở giữa. Nó được tính bằng ΔQ =  Q₃ - Q₁  với Q₁ và Q₃ xác định bằng công thức nội suy tuyến tính.

• Độ lệch chuẩn (s): Đây là thước đo chính xác nhất về độ phân tán, cho biết mức độ trung bình mà các giá trị lệch khỏi giá trị trung bình.

Lời giải chi tiết:

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: R = 180 – 170 = 10.

Cỡ mẫu là: n = 3 + 10 + 6 + 1 = 20.

Gọi x₁; x₂; ..; x₂₀ là mức xà của 20 vận động viên được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là  mà x₅; x₆  thuộc nhóm [172; 174).

Ta có: 

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là  mà x₁₅; x₁₆ thuộc nhóm [174; 176).

Ta có: 

Do đó khoảng tứ phân vị là ∆_Q = 174,7 – 172,4 = 2,3.

Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có

Mức xà trung bình là:

Phương sai và độ lệch chuẩn

Suy ra 

b) Độ phân tán của mẫu số liệu cho biết điều gì?

Độ phân tán của mẫu số liệu cho chúng ta biết về sự biến động và mức độ đồng đều của thành tích các vận động viên.

• Khoảng biến thiên (10 cm): Cho thấy thành tích giữa vận động viên nhảy kém nhất và vận động viên nhảy tốt nhất có sự chênh lệch là 10 cm.

• Khoảng tứ phân vị (khoảng 2,3 cm): Cho thấy 50% các vận động viên có thành tích nằm trong khoảng 2,3 cm, một con số khá nhỏ, chứng tỏ phần lớn các vận động viên có thành tích tương đối đồng đều.

• Độ lệch chuẩn (khoảng 1,56 cm): Cho biết thành tích của các vận động viên trung bình lệch khỏi mức xà trung bình (173,7 cm) khoảng 1,56 cm.

Tổng hợp lại, các số liệu này cho thấy thành tích của các vận động viên có sự phân hóa. Mặc dù có một số vận động viên đạt thành tích thấp và một số có thành tích cao, phần lớn vận động viên có thành tích tập trung khá chặt chẽ quanh mức trung bình.