Bài 3.8 trang 84 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề bài:

Có nên dùng phương sai (hoặc độ lệch chuẩn) để so sánh độ phân tán của hai mẫu số liệu ghép nhóm trong mỗi trường hợp sau không? Tại sao?

a) Các mẫu số liệu ghép nhóm về điểm thi tốt nghiệp môn Toán của học sinh hai trường trung học phổ thông có chất lượng tương đương.

b) Các mẫu số liệu ghép nhóm về doanh thu của 100 cửa hàng bán lẻ và doanh thu của 100 siêu thị.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để trả lời câu hỏi này, chúng ta cần xem xét bản chất của dữ liệu trong từng trường hợp. Phương sai và độ lệch chuẩn đo lường sự phân tán của dữ liệu quanh giá trị trung bình. Do đó, chúng hoạt động hiệu quả nhất khi giá trị trung bình có ý nghĩa đại diện cho cả tập dữ liệu, tức là dữ liệu có phân phối tương đối đồng đều và không bị chi phối bởi các giá trị bất thường.

a) Điểm thi Toán của hai trường THPT:

• Bản chất dữ liệu: Điểm thi Toán là một đại lượng có giá trị tương đối đồng đều và có cùng đơn vị đo lường (thang điểm 10).

• Mục đích so sánh: Hai trường có chất lượng tương đương, nghĩa là chúng ta mong đợi điểm trung bình của hai trường sẽ gần bằng nhau. Việc so sánh phương sai sẽ cho thấy độ đồng đều trong kết quả học tập của học sinh mỗi trường. Một trường có phương sai nhỏ hơn cho thấy chất lượng học sinh đồng đều hơn, trong khi phương sai lớn hơn có thể chỉ ra sự phân hóa rõ rệt giữa học sinh giỏi và học sinh yếu.

b) Doanh thu của cửa hàng bán lẻ và siêu thị:

• Bản chất dữ liệu: Doanh thu của cửa hàng bán lẻ và siêu thị có sự khác biệt rất lớn về quy mô. Một cửa hàng nhỏ có thể có doanh thu vài chục triệu đồng, trong khi một siêu thị có thể đạt hàng chục tỷ đồng.

• Mục đích so sánh: Dữ liệu có đơn vị và quy mô không đồng nhất. Nếu tính phương sai của hai tập dữ liệu này, kết quả của siêu thị sẽ lớn hơn rất nhiều so với cửa hàng bán lẻ, nhưng điều này không có nghĩa là doanh thu của siêu thị biến động hơn. Sự khác biệt về phương sai ở đây chủ yếu là do sự khác biệt về quy mô.

Lời giải chi tiết:

a) Điểm thi môn Toán của hai trường THPT

Có thể dùng phương sai để so sánh.

• Lý do: Điểm thi là đại lượng có cùng đơn vị và cùng quy mô giữa hai trường. Khi hai trường có chất lượng tương đương (tức là điểm trung bình gần nhau), phương sai sẽ là một thước đo hiệu quả để so sánh mức độ đồng đều trong kết quả học tập của học sinh.

• Phương sai nhỏ cho thấy học sinh của trường đó có thành tích ổn định, ít có sự chênh lệch lớn giữa các cá nhân. Ngược lại, phương sai lớn cho thấy sự phân hóa rõ rệt, có thể có cả học sinh xuất sắc và học sinh kém.

• Ví dụ:

  • Trường A: Điểm trung bình 8. Phương sai 0,5. (Điểm khá đồng đều, tập trung quanh 8)

  • Trường B: Điểm trung bình 8. Phương sai 2. (Điểm phân hóa, có cả học sinh 5-6 điểm và học sinh 9-10 điểm) Trong trường hợp này, phương sai giúp ta đưa ra kết luận hữu ích.

b) Doanh thu của cửa hàng bán lẻ và siêu thị

Không nên dùng phương sai để so sánh.

• Lý do: Doanh thu của cửa hàng bán lẻ và siêu thị có sự khác biệt rất lớn về quy mô và giá trị trung bình.

• Phương sai đo lường sự biến động tuyệt đối, do đó nó sẽ rất lớn đối với dữ liệu có giá trị lớn. Khi so sánh phương sai của hai tập dữ liệu có giá trị trung bình chênh lệch nhau nhiều, kết quả có thể gây hiểu lầm. Phương sai của siêu thị chắc chắn sẽ lớn hơn nhiều so với cửa hàng bán lẻ, nhưng điều này không phản ánh sự biến động tương đối.

• Trong trường hợp này, một thước đo khác như hệ số biến thiên (Coefficient of Variation - \(\text{CV} = \frac{\text{độ lệch chuẩn}}{\text{số trung bình}}\)) sẽ phù hợp hơn để so sánh sự phân tán tương đối giữa hai tập dữ liệu có quy mô khác nhau.