Bài 1.8 trang 14 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề Bài 1.8 trang 14 Toán 12:

Cho hàm số y = f(x) = |x|

a) Tính các giới hạn $\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ và $\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$

Từ đó suy ra hàm số không có đạo hàm tại x = 0 

b) Sử dụng định nghĩa, chứng minh hàm số có cực tiểu tại x = 0 (xem hình 1.4)

Phân tích và Hướng dẫn giải

Bài toán này yêu cầu các em thực hiện hai phần chính:

1. Tính giới hạn: Các em cần nhớ lại định nghĩa của giá trị tuyệt đối $|x|$.

   • Khi x→0⁺, ta có $x>0⟹|x|=x$.

   • Khi x→0⁻, ta có $x<0⟹|x|=-x$.

   • Đạo hàm của hàm số tại một điểm tồn tại khi và chỉ khi hai giới hạn một bên của nó bằng nhau.

2. Chứng minh cực tiểu bằng định nghĩa:

   • Định nghĩa: Hàm số $f(x)$ đạt cực tiểu tại x0​ nếu tồn tại một khoảng (x₀​−h;x₀​+h) (với $h>0$) sao cho f(x)>f(x_0​) với mọi $x$ khác x_0​ trong khoảng đó.

   • Các em cần chỉ ra rằng với một khoảng nhỏ bất kỳ chứa $x=0$, giá trị của hàm số $f(x)=|x|$ luôn lớn hơn giá trị của hàm số tại $x=0$.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

$\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ $=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{|x| - 0}{x-0} =\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{x}{x}=1$

\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ $=\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{|x| - 0}{x-0} =\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{-x}{x}=-1

Vì $\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\neq \lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ nên hàm số không có đạo hàm tại x = 0

b) Ta có:

Đồ thị hàm số y =|x|

$y=f(x)=|x|$$=\left\{\begin{matrix} -x\: \: khi\: \: x\in (-\infty ;0)\\ x\: \: khi\: \: x\in (0;+\infty) \end{matrix}\right.$

Hàm số y = f(x) = |x| liên tục và xác định trên (–∞; +∞)

Với h > 0 ta có: với x ∈ (-h; h) ⊂ (–∞; +∞) và x ≠ 0 thì y = f(x) = |x| > 0 = f(0)

Vì vậy, hàm số y = f(x) = |x| có cực tiểu là x = 0, y_CT = 0.