Hotline 0936685849

Bài 1.31 trang 42 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

10:29:0424/03/2024

Chào các em! Bài viết này sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết Bài 1.31 trang 42 SGK Toán 12 thuộc bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1. Bài toán này giúp chúng ta củng cố kiến thức về tính đơn điệu của hàm số, cụ thể là cách xác định một hàm số nghịch biến trên $R$ .

Đề bài:

Hàm số nào sau đây nghịch biến trên R?

A. y = -x³ + 3x² - 9x

B. y = -x³ + x + 1

C. $y=\frac{x-1}{x-2}$

D. y = 2x² + 3x + 2

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để xác định một hàm số $y = f (x)$ nghịch biến trên $R$ (tập hợp tất cả các số thực), chúng ta cần kiểm tra điều kiện sau:

Hàm số phải có đạo hàm trên $R$ .
Đạo hàm $f^{'} (x)$ phải luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0 trên $R$ , tức là $f^{'} (x) \leq 0$ với mọi $x \in R$ .
Dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.

Chúng ta sẽ tính đạo hàm của từng hàm số trong các đáp án và xét dấu của chúng để tìm ra hàm số thỏa mãn điều kiện trên.

Lời giải chi tiết:

Ta sẽ lần lượt xét đạo hàm của từng hàm số:

A. $y=-x^3+3x^2-9x$
- Đạo hàm: $y'=-3x^2+6x-9.$
- Xét dấu của đạo hàm: $y'=-3(x^2-2x+3)=-3[(x-1)^2+2]$ .
- Vì $(x-1)^2\ge 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ , nên $(x-1)^2+2>0$ .
- Do đó, $y'=-3[(x-1)^2+2]<0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ .
- Vì đạo hàm luôn âm trên $\mathbb{R}$ , nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ .
  
  ⇒ Khẳng định A là đúng.
B. $y=-x^3+x+1$
- Đạo hàm: $y'=-3x^2+1$ .
- Cho $y'=0\Leftrightarrow-3x^2+1=0$ $\Leftrightarrow x^2=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$ .
- Vì đạo hàm đổi dấu khi đi qua các điểm này, nên hàm số này không đơn điệu trên R.
  
  ⇒ Khẳng định B là sai.
C. $y=\frac{x-1}{x-2}$
- Hàm số này có tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus\{2\}$ .
- Vì hàm số không xác định trên toàn R, nên nó không thể đơn điệu trên R.
  
  ⇒ Khẳng định C là sai.
D. $y=2x^2+3x+2$
- Đạo hàm: $y'=4x+3.$
- Cho $y'=0\Leftrightarrow x=-\frac{3}{4}.$
- Đạo hàm đổi dấu khi đi qua điểm này. Hàm số này có dạng parabol, nghịch biến trên $(-\infty;-\frac{3}{4})$ và đồng biến trên $(-\frac{3}{4};+\infty)$ .
  
  ⇒ Khẳng định D là sai.

Vậy, hàm số nghịch biến trên R là hàm số ở đáp án A.

Đáp án: A. y = -x³ + 3x² - 9x

Qua bài tập này, các em đã củng cố mối liên hệ giữa dấu của đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số. Để chứng minh một hàm số đơn điệu trên $R$ , các em chỉ cần xét dấu của đạo hàm. Nếu $y^{'} \leq 0$ (hoặc $y^{'} \geq 0$ ) với mọi $x$ và chỉ bằng 0 tại một số hữu hạn điểm, thì hàm số đơn điệu trên $R$ .