Bài 8 trang 82 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 8 trang 82 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Tính thể tích của khối chóp cụt lục giác đều ABCDEF.A′B′C′D′E′F′ với O và O′ là tâm hai đáy, cạnh đáy lớn và đáy nhỏ lần lượt là a và a/2, OO' = a.

Phân Tích Hướng Dẫn Giải:

1. Công thức Diện tích Đáy Lục giác Đều ($S$): Một hình lục giác đều cạnh $x$ được tạo thành từ 6 tam giác đều cạnh $x$. Diện tích mỗi tam giác đều là $\frac{x^2\sqrt{3}}{4}$.

   $S_{\text{lục giác}} = 6 \cdot \frac{x^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3x^2\sqrt{3}}{2}$

2. Công thức Thể tích Khối Chóp Cụt ($V$):

    $V = \frac{1}{3} h (S + \sqrt{S \cdot S'} + S')$

   Trong đó, $h = OO'$ là chiều cao, $S$ là diện tích đáy lớn, và $S'$ là diện tích đáy nhỏ.

Giải bài 8 trang 82 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Ta có hình minh hoạ như sau:

Ta có mỗi hình lục giác đều được tạo bởi 6 tam giác đều có cạnh bằng cạnh của hình lục giác.

Vì vậy, ta có diện tích các đáy là:

$S=6.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

$S'=6.\left ( \frac{a}{2} \right )^2.\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{8}$

Chiều cao của khối chóp cụt là: h = OO′ = a

Thể tích khối chóp cụt là:

$V=\frac{1}{2}h(S+\sqrt{S.S'}+S')$

$=\frac{1}{3}.a\left ( \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}+\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}+\frac{3a^2\sqrt{3}}{8} \right )$ $=\frac{7a^3\sqrt{3}}{8}$

Vậy thể tích khối chóp cụt là $\frac{7a^3\sqrt{3}}{8}$